2024-2025学年北京101中学高二（上）统考数学试卷（三）（含答案）.docx

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2024-2025学年北京101中学高二（上）统考数学试卷（三）

一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线3x+3y+1=0的倾斜角是

A.30° B.60° C.120° D.150°

2.已知直线l1：ax?y?1=0，l2：ax+(a+2)y?1=0.若l1//l

A.0或?3 B.0 C.?3 D.?1与0

3.“a=?1”是“直线l1：x?ay+1=0和直线l2：ax+(a+2)y+1=0(a∈R)垂直”的(????)

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知Q为直线l：x+2y+1=0上的动点，点P满足QP=(1,?3)，记P的轨迹为E，则(????)

A.E是一个半径为5的圆 B.E是一条与l相交的直线

C.E上的点到l的距离均为5 D.

5.已知实数x，y满足x+y+1=0，则(x?1)2+(y?1

A.5 B.22 C.

6.P为直线y=kx?2上一点，过P总能作圆x2+y2=1的切线，则

A.3 B.33 C.?

7.若圆锥曲线C：x2+my2=1的离心率为2

A.?33 B.33

8.已知直线l过点(1,2)，且在x轴截距是在y轴截距的2倍，则直线l的方程为(????)

A.x+2y?5=0 B.x+2y+5=0

C.2x?y=0或x+2y?5=0 D.2x?y=0或x?2y+3=0

9.已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α1，α2，则“cos

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

10.笛卡尔、牛顿研究过方程(x?1)(x?2)(x?3)=xy，关于这个方程的曲线有下列说法，其中正确的是(????)

A.该曲线关于y轴对称

B.该曲线关于原点对称

C.该曲线不经过第三象限

D.该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数

二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。

11.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，点B在C上.若|FB|=2，则直线AB的方程为______．

12.若直线kx?y+k=0与⊙C：(x?1)2+y2=4交于A，B两点，则△ABC面积的最大值为______，写出满足“

13.已知抛物线y2=2px(p0)的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，|AB|=10，AB的中点横坐标为4，则p=______．

14.已知F1，F2是椭圆x225+y29=1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B

15.已知双曲线C：x2+ny2=1，请从以下四个条件中任选两个条件，使双曲线C存在且唯一确定，并根据所选条件求双曲线C的渐近线方程．

①焦距为4；

②经过点(?1,0)；

③焦点到渐近线的距离为3；

④离心率为2．

16.若直线l被圆C：x2+y2=2所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：

①y=x2?2②(x?1)2

三、解答题：本题共1小题，共30分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题30分)

已知椭圆E的焦点在x轴上，中心在坐标原点.以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为62．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设过点M(2,0)的直线l(不与坐标轴垂直)与椭圆E交于不同的两点A，C，与直线x=16交于点P.点B在y轴上，D为坐标平面内的一点，四边形ABCD是菱形.求证：直线PD过定点．

参考答案

1.C?

2.B?

3.A?

4.C?

5.D?

6.D?

7.C?

8.C?

9.B?

10.C?

11.x?y+1=0或x+y+1=0?

12.2?1?

13.2?

14.20?8?

15.①②?y=±

16.①③?

17.解：(Ⅰ)因为椭圆E的焦点在x轴上，中心在坐标原点，

不妨设椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，

因为以E的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为62，

所以2a+2c=62且ca=12，①

又a2=b2+c2，②

联立①②，

解得a=22，b=6，c=2，

则椭圆E的方程为x28+y26=1；

(Ⅱ)证明：不妨设直线l的方程为x=ty+2(t≠0)，A(x1,y1)，C(x2,y2)，

令x=16，

解得y=14t，

即P(16,14t)，

联立x=ty+2x28+y26=1，消去x并整理得(3t2+4)y2+12ty?12=0，

由韦达定理得y1+y2=?12t3t2+4，y1y2