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勾勾股股定定理理

勾勾股股定定理理

勾股定理是数学⼏何中的⼀个定理，⼀般的表述为：直⾓三⾓形两直⾓边的平⽅和等于斜边

的平⽅勾股定理是余弦定理的⼀个特例，约有400种证明⽅法

古埃及⼈在4500年前建造⾦字塔和测量尼罗河泛滥后的⼟地时，就⼴泛地使⽤勾股定理古巴

⽐伦（公元前1800到1600年）的数学家也提出许多勾股数组数学史上普遍认为最先证明这个

定理的是毕达哥拉斯，所以很多数学书上把此定理称为毕达哥拉斯定理中国古代称直⾓三⾓

形的直⾓边为勾和股，斜边为弦，故此定理称为勾股定理

中⽂名

勾股定理

外⽂名

Pythagorastheorem

别称

毕达哥拉斯定理

表达式

a2+b2=c2

提出者

商⾼毕达哥拉斯

提出时间

公元前约1000年

应⽤学科

数学⼏何

适⽤领域范围

数学

适⽤领域范围

物理等理⼯学科

记载著作

《⼏何原本》《九章算术》

⽬⽬录录

1公公式式

2验验证证推推导导

3定定理理推推⼴⼴

逆定理

推⼴定理

4发发展展简简史史

5定定理理意意义义

1公公式式

如果直⾓三⾓形的两条直⾓边长分别为，，斜边长为，那么

2验验证证推推导导

标标准准验验证证：：该该证证明明对对切切即即为为加加菲菲尔尔德德的的梯梯形形证证明明法法

如右图所⽰：⼤正⽅形的⾯积等于中间正⽅形的⾯积加

上四个三⾓形

∴

∴

∴

图⽰

3定定理理推推⼴⼴

逆逆定定理理

勾股定理的逆定理是判断三⾓形为钝⾓、锐⾓或直⾓的⼀个简单的⽅法，其中C为最长边：

如果，则△ABC是直⾓三⾓形

如果，则△ABC是锐⾓三⾓形（若⽆先前条件C为最长边，则仅满⾜∠C是锐⾓）

如果，则△ABC是钝⾓三⾓形

推推⼴⼴定定理理

欧⼏⾥得在他的《⼏何原本》中给出了勾股定理的推⼴定理：“直⾓三⾓形斜边上的⼀个直边

形，其⾯积为两直⾓边上两个与之相似的直边形⾯积之和”

4发发展展简简史史编编辑辑

⼏个⽂明古国都先后研究过这条定理，远在公元前约三千年的古巴⽐伦⼈就知道和应⽤勾股定

理，他们还知道许多勾股数组古埃及⼈在建筑宏伟的⾦字塔和尼罗河泛滥后测量⼟地时，也

应⽤过勾股定理我国也是最早了解勾股定理的国家之⼀三千多年前，周朝数学家就提出“勾

[1]

三、股四、弦五”，它被记载于《周髀算经》中

毕达哥拉斯定理是⼀个基本的⼏何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明在中

国，《周髀算经》记载了勾股定理证明，相传是在西周由商⾼发现，故⼜有称之为商⾼定理；

三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，⼜给出了另外⼀个证明

任何⼀个学过代数或⼏何的⼈，都会听到毕达哥拉斯定理．这⼀著名的定理，在许多数学分

⽀、建筑以及测量等⽅⾯，有着⼴泛的应⽤．古埃及⼈⽤他们对这个定理的知识来构造直⾓．

他们把绳⼦按3，4和5单位间隔打结，然后把三段绳⼦拉直形成⼀个三⾓形．他们知道所得三⾓

形最⼤边所对的⾓总是⼀个直⾓毕达哥拉斯定理；给定⼀个直⾓三⾓形，则该直⾓三⾓形斜

边的平⽅，等于同⼀直⾓三⾓形两直⾓边平⽅的和反过来也是对的；如果⼀个三⾓形两边的

平⽅和等于第三边的平⽅，则该三⾓形为直⾓三⾓形

虽然这个定理以后来的希腊数学家毕达哥拉斯⼤约公元前540年)的名字命名，但有证据表明，

该定理的历史可以追溯到毕达哥拉斯之前1000年的古巴⽐伦的汉谟拉⽐年代．把该定理名字归

于毕达哥拉斯，⼤概是因为他第⼀个对⾃⼰在学校中所写的证明作了记录．毕达哥拉斯定理的

结论和它的证明，遍及于世界的各个⼤洲、各种⽂化及各个时期．事实上，这⼀定理的证明之

多，是其他任何发现所⽆法⽐拟的

5定定理理意意义义

勾股定理是⼈类早期发现并证明的重要数学定理之⼀，千百年来，⼈们对它的证明趋之若鹜，

它既是⽤代数思想解决⼏何问题的最重要的⼯具，也是数形结合的纽带勾股定理和黄⾦分割

并称为数学的两个明珠它开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学从勾股

定理出发开平⽅、开⽴⽅、求圆周率等希伯索斯运⽤勾股定理数学家还发现