2024年宁波市高中数学竞赛试题(含答案).docx

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2024年宁波市高中数学竞赛试题

一、单选题:本题共4小题,每小题6分,共24分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知两圆C1,C2,则“C1,C2有且仅有三条公切线”是“C1,

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

2.若α∈12,1,2,则函数f(x)=x

A. B.

C. D.

3.已知对任意平面向量AB=(x,y),把AB绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量AP=(xcosθ?ysinθ,xsinθ+ycosθ),叫做把点B绕点A

A.12 B.32 C.1

4.已知△ABC的内心为I,垂心为H,∠B=π4,若IH//BC,则∠C的大小落在区间(????)

A.(0,π6) B.(π6,

二、多选题:本题共3小题,共24分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。

5.设a,b,c是互不相等的正数,若关于x的不等式ax?bx+cx0

A.a+c2b B.1a+1c2

6.数列an是等差数列,周期数列{bn}满足bn=cos(an

A.4 B.5 C.6 D.7

7.已知棱长为2的正方体ABCD?A1B1C1D1,点M是线段A1D1上的动点,点

A.对任意的点M,总存在点N使得MN⊥AC

B.三棱锥M?BCN外接球的球心可以是线段BM的中点

C.三棱锥M?BCN外接球半径的最小值为928

D.二面角

三、填空题:本题共6小题,每小题8分,共48分。

8.已知函数f(x),满足f(x)+f(11?x)=x,则f(2)=??????????

9.在斜三棱柱的9条棱中任取2条,则取出的两条棱所在直线异面的概率为??????????.

10.在3×3的方格表内填入1,2,?,9,若任何有公共边的两格内填的数之差的绝对值都不小于c,则c的最大值为??????????.

11.已知9位学生在某次数学测试中的成绩的平均值为75,方差为80,则这9位学生成绩的中位数的最大值为??????????.

12.设P(x0,y0)为椭圆x2+4y2=

13.已知复数z1,z2满足|z1?i|=2,且z2?iz1?i=

四、解答题:本题共5小题,共104分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。

14.(本小题17分)

在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,且b2+2bc

(1)判断△ABC的形状,并说明理由;

(2)若△ABC为等腰三角形,D为边AB上一动点,作BE⊥CD于E点,求CDBE的最小值.

15.(本小题17分)

已知函数f(x)=1

(1)求证:f(x)+f(x+2)

(2)若关于x的不等式1?kx≤f(x+1)≤1?tx的解集为[0,3],求实数k和t的取值范围.

16.(本小题20分)

已知双曲线Γ:x2?y2=2的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1的直线分别交双曲线Γ的两支于A,B两点,直线F

(1)若C为线段AB上一点,满足S△F2RC

(2)若RM=14RS,AN

17.(本小题25分)

已知p为素数,定义fp(n)表示正整数n的不被p整除的最大因子.记

求证:(1){an+1?a

18.(本小题25分)

设集合A={x1,x2,?,xn},xi∈Z,i=1,2,?,n.将A的每个子集的元素相加,得到2n个数

(1)若A={1,2,4,?,2n?1},证明:若

(2)若b1,b2,?,b2n为连续的2n个整数.

参考答案

1.A?

2.C?

3.A?

4.D?

5.ABD?

6.ABC?

7.BCD?

8.74

9.13

10.3?

11.83?

12.252

13.|Re(z

14.解:(1)由题可得b2

所以cosA=b2

由余弦定理得:b=cb

∴c2=

(2)设∠ACD=α.则∠CBE=α,∠ADC=3π4?α

在△ABC中,由正弦定理得CDsin

因为△ABC为等腰三角形,

所以CDBE

当α=π8时,取到等号,所以CDBE

?

15.解:(1)要证1x+

即证x+1

上式左边=(

同理可得,上式右边=1x+1

(2)由不等式1?kx≤f(x+1)≤1?tx的解集为[0,3],可知函数y=1x+1

l1:y=1?kx,

数形结合可得,x=3是方程1x+1

又由图象可知,不等式1?kx≤1x+1

可得kx≥1?1

从而k≥1x+1

又函数y=1x+1?(x+1+1)

因此,k≥12,

?

16.解:AB的斜率存在且不为0,可设AB:x=my?2,A(x1,

直线AB与双曲线Γ联立,x2?

所以y1+y2=

又F2A:x=x1?2y1

因为S△F2

设直线CF2交直线RS于点T,则T为线段

所以

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