22.3 实际问题与二次函数（知识梳理+典型例题）.docx

22.3实际问题与二次函数?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓

22.3实际问题与二次函数

?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓?▓

按住ctrl并单击，可访问相关题型链接

按住ctrl并单击，可访问相关题型链接

TOC\o1-3\h\z\u【题型1】销售利润问题 3

【题型2】抛物线形问题 6

【题型3】图形面积问题 10

【题型4】动态几何问题 14

知识点1：利用二次函数解决实际问题的一般步骤

建立二次函数模型解决实际问题的一般步骤：

（1）审题；

（2）找出题中的已知量和未知量；

（3）用一个未知量表示题中的其他未知量；

（4）找出等量关系并列出函数解析式；

（5）利用二次函数的图象及性质去分析、解决实际问题．

知识点2：利用二次函数解决实际问题的常见类型

1．利用二次函数解决利润问题

利润问题主要涉及两个等量关系：

利润=售价-进价；

总利润=单件商品的利润×销售量．

在日常生活中，经常遇到求最大利润、最高产量等问题，在解答此类问题时，应建立函数模型，把它们转化为求函数的最值问题，然后列出相应的函数解析式，从而解决问题．

2．利用二次函数求图形面积的最值

二次函数的最值：一般地，当a0（a0）时，抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（最高）点，也就是说，当x=时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（最大）值，最小（最大）值为．

3．利用二次函数解决抛物线形问题

在实际生活中，如拱门、桥洞等问题，都可以通过建立二次函数模型来解答．在解答此类问题的过程中，要运用数形结合思想和函数思想，在图形上先建立合适的平面直角坐标系，再根据题意设出适当的函数解析式，然后由已知点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，最后根据函数解析式来分析解答问题．

4．利用二次函数解决动态几何问题

利用二次函数解决动态几何问题解决动态几何问题时，可先观察图形运动的整个过程，找出这一过程中变化的量与不变的量，再根据这些量之间的关系构造适当的数学模型．同时关注特殊情形，通过特殊情形逐步过渡到一般情形，从而找到解题的方法．

应用二次函数解决实际问题的基本思路：

①理解题意；

②分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

③用函数解析式表示它们之间的关系；

④用数学方法求解；

⑤检验结果的合理性．

【题型1】销售利润问题

例1

例1

（2024?东阳市开学）童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利（元与销售单价（元满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价为

A．25元 B．20元 C．30元 D．40元

【答案】

【分析】将函数解析式配方成顶点式后，利用二次函数的性质求解可得．

【解答】解：，

当时，取得最大值，最大值为125，

即销售单价为25元时，销售利润最大，

故选：．

?点拨?

1．二次函数与利润最大问题

（1）调整价格分涨价和降价．

（2）总利润=单件商品的利润×销售量．

（3）商品价格上涨，销售量会随之下降；商品价格下降，销售量会随之增加．两种情况都会导致利润的变化．

2．在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

【变式1】（2024?庐阳区校级四模）某厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年一季度新产品的研发资金（元关于的函数关系式为

A． B．

C． D．

【变式2】（2023秋?莫旗期末）将进货价格为35元的商品按单价40元售出时，能卖出200个．已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个．设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是

A． B．

C． D．

【变式3】（2024春?鼓楼区校级期末）某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，则该厂今年第一季度新产品的研发资金（万元）关于的函数关系式为

A． B．

C． D．

1．【答案】

【分析】根据该厂今年一月份新产品的研发资金及以后每月新产品的研发资金与上月相比的增长率，可得出该厂今年二月份、三月份新产品的研发资金，将该厂今年一、二、三月份新产品的研发资金相加，即可得出关于的函数关系式．

【解答】解：该厂今年一月份新产品的研发资金为10万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是，

该厂今年二月份新产品的研发资金为万元，三月份新产品的研发资金为万元．

根据题意得：．

故