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专题11直线与圆的位置关系(6个知识点7种题
型3种中考考法)
【目录
倍速学习五种方法
【方法一脉络梳理法
知识点1:直线和圆的位置关系
知识点2:直线和圆的位置关系的性质和判定(重点)
知识点3:切线的判定(难点)
知识点4:切线的性质(重点)
知识点5:三角形的内切圆
知识点6:切线长定理(难点)
【方法二实例探索法
题型1:直线与圆的位置关系的应用
题型2:利用切线的性质和勾股定理解决问题
题型3:切线的判定和性质的综合应用
题型4:三角形的内切圆的应用
题型5:切线长定理的应用
题型6:与切线性质有关的动态问题
题型7:圆的切线与一次函数综合应用
【方法三仿真实战法
考法1:直线与圆的位置关系
考法2:切线的判定
考法3:切线的性质
【方法四成果评定法
【学习目标
1.了解直线与圆相离、相切、相交的三种位置关系。
2.掌握切线的概念,会描述切线与过切点的半径之间的关系,能判断一条直线是否为圆的切线,会用三角
尺画过圆上一点的切线。
3.知道三角形的内切圆、三角形的外心、圆的外切三角形的概念,会作知识三角形的内切圆。
4.知道切线长的概念,会证明并掌握切线长定理,并运用切线长定理解决相关问题。
【知识导图
【倍速学习五种方法
【方法一】脉络梳理法
知识点1:直线和圆的位置关系
(1)相交:直线与圆有两个公共点时,叫做直线和圆相交.这时直线叫做圆的割线.
(2)相切:直线和圆有唯一公共点时,叫做直线和圆相切.这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做
切点.
(3)相离:直线和圆没有公共点时,叫做直线和圆相离.
知识点2:直线和圆的位置关系的性质和判定(重点)
由于圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小,因此研究直线和圆的位置关系,就可以转化为直线和点(圆
心)的位置关系.下面图(1)中直线与圆心的距离小于半径;图(2)中直线与圆心的距离等于半径;图(3)中
直线与圆心的距离大于半径.
要点诠释:
这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质;从右边到左边则是直线与圆的位置
关系的判定.
【例1】(2022秋•宜兴市期末)已知⊙O的半径为6cm,点O到直线l的距离为7cm,则直线l与⊙O的位
置关系是()
A.相交B.相切C.相离D.无法确定
【解答】解:∵⊙O的半径为6cm,圆心O到直线l的距离为7cm,6<7,
∴直线l与⊙O相离.
故选:C.
知识点3:切线的判定(难点)
(1)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2)在应用判定定理时注意:
①切线必须满足两个条件:a、经过半径的外端;b、垂直于这条半径,否则就不是圆的切线.
②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时,直线和圆相切“这个结论直接得出来的.
③在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线
的垂线段,证明该线段的长等于半径,可简单的说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指
出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,
作半径,证垂直”.
要点诠释:
切线的判定定理中强调两点:一是直线与圆有一个交点,二是直线与过交点的半径垂直,缺一不可.
【例2】.(2023•沛县模拟)如图,AD是⊙O的弦,AB经过圆心O交⊙O于点C,∠A=∠B=30°,连接
BD.求证:BD是⊙O的切线.
【解答】如图,连接OD,
∵OD=OA,
∴∠ODA=∠DAB=30°,
∴∠DOB=∠ODA+∠DAB=60°,
∴∠ODB=180°﹣∠DOB﹣∠B=180°﹣60°﹣30°=90°,
即OD⊥BD,
∴直线BD与⊙O相切.
【变式】如图,在△ABC中,∠CAB=90°,∠CBA=50°,以AB为直径作⊙O交BC于点D,点E在边AC
上,且满足ED=EA.
(1)求∠DOA的度数;
(2)求证:直线ED与⊙O相切.
【答案与解析
(1)解;∵∠D
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