专题21函数与直角三角形的存在性问题-【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案（原卷版）.pdfVIP

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题21函数与直角三角形的存在性问题

解题策略

经典例题

【例1】（2022春•绿园区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，动点P从点A出发，

沿AC以

每2个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90°

得到线段PR，连结QR．设四边形APRQ与Rt△ABC的重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t（t＞

0）秒．

（1）线段AP的长为（用含t的代数式表示）．

（2）当点R恰好落在线段BC上时，求t的值．

（3）求S与t之间的函数关系式．

（4）当△CPR为直角三角形时，直接写出t的值．

【例2】（2022春•成华区校级期中）如图，在平面直角坐标系内，点O为坐标原点，经过A（﹣2，6）的

直线交x轴正半轴于点B，交y轴于点C，OB＝OC，直线AD交x轴负半轴于点D，若△ABD的面积为

27．

（1）求直线AB的表达式和点D的坐标；

（2）横坐标为m的点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P作x轴的平行线交AD于点E，设

PE的长为y（y≠0），求y与m之间的函数关系式并直接写出相应的m取值范围；

（3）在（2）的条件下，在x轴上是否存在点F，使△PEF为等腰直角三角形？若存在求出点F的坐标；

若不存在，请说明理由．

【例3】如图，在平面直角坐标系中，C（8，0）、B（0，6）是矩形ABOC的两个顶点，点D是线段AB上

的一个动点（不与A、B重合），双曲线y＝（k＞0）经过点D，与矩形ABOC的边AC相交于点E．

（1）如图①，当点D为AB中点时，k的值为，点E的坐标为．

（2）如图②，当点D在线段AB上的任意位置时（不与A、B重合），连接BC、DE，求证：BC∥

DE．

（3）是否存在反比例函数上不同于点D的一点F，满足：△ODF为直角三角形，∠ODF＝90°，且tan

∠DOF＝，若存在，请直接写出满足以上条件时点D的横坐标，若不存在，请说明理由．

2

【例4】（2022•巴南区自主招生）已知在平面直角坐标系中，二次函数y＝x+bx+c与x轴交于A、B两点

（点A在点B左侧），与y轴交于点C，A（﹣4，0），B（12，0），C（0，﹣6）．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）如图1，点P为直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，过点P

作PE∥BC交x轴于点E，求PD+BE的最大值及此时点P的坐标；

（3）如图2，将抛物线沿射线CB方向平移3个单位，得到新抛物线y，点F为y的对称轴上任意一

点，若以点B、C、F为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出符合条件的点F的坐标．

培优训练

一．解答题

1．（2022秋•南关区校级月考）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，动点F从点A出发沿

折线AC﹣CB向终点B运动，在AC上的速度为每秒个单位长度，在BC上的速度为每1个单位长

度．当点F不与点C重合时，以CF为边在点C的右上方作等边△CFQ，设点P的运动时间为t（秒），

点F到AB的距离为h．

（1）AC＝；

（2）求h与t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）当点F在AC边上运动，且点Q到AB的距离为h时，求t的值；

（4）