第六章　§6.2　等差数列-2025新高考一轮复习讲义_1.docx

§6.2等差数列

课标要求1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元函数的关系．

知识梳理

1．等差数列的有关概念

(1)等差数列的定义

一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差都等于____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母________表示，定义表达式为________________________．

(2)等差中项

由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有____________．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝____________.

(2)前n项和公式：Sn＝____________或Sn＝____________.

3．等差数列的常用性质

(1)若{an}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则________________(p，q，s，t∈N*)．

(2)等差数列{an}的单调性

当d0时，{an}是________数列；

当d0时，{an}是________数列；

当d＝0时，{an}是________．

4．等差数列前n项和的常用性质

(1)当d≠0时，等差数列{an}的前n项和Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n是关于n的二次函数．

(2)在等差数列{an}中，若a10，d0，则Sn存在最________值；若a10，d0，则Sn存在最________值．

常用结论

1．等差数列通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)．

2．已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.

3．数列{an}是等差数列?Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.

4．若{an}，{bn}均为等差数列且其前n项和为Sn，Tn，则eq\f(an,bn)＝eq\f(S2n－1,T2n－1).

5．若等差数列{an}的项数为偶数2n，则

(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；

(2)S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1).

6．若等差数列{an}的项数为奇数2n＋1，则

(1)S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；

(2)eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n＋1,n).

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()

(2)等差数列{an}中，a10＝a1＋a9.()

(3)若等差数列{an}的前n项和为Sn，则S6，S12，S18也成等差数列．()

(4)若{an}是等差数列，则对任意n∈N*都有2an＋1＝an＋an＋2.()

2．(选择性必修第二册P15T4改编)已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则a4等于()

A．－2B．4C．6D．8

3．若一个等差数列的首项为eq\f(1,25)，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是()

A．deq\f(8,75) B．deq\f(3,25)

C.eq\f(8,75)deq\f(3,25) D.eq\f(8,75)d≤eq\f(3,25)

4．(2023·安康模拟)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＋a4＝4，则S6等于()

A．6B．12C．18D．24

题型一等差数列基本量的运算

例1(1)(2023·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a2＋a6＝10，a4a8＝45，则S5等于()

A．25B．22C．20D．15

(2)广丰永和塔塔高九层，每至夜色降临，金灯齐明，塔身晶莹剔透，远望犹如仙境．某游客从塔底层(一层)进入塔身，即沿石阶逐级攀登，一步一阶，此后每上一层均沿塔走廊绕塔一周以便浏览美景，现知底层共二十六级台阶，此后每往上一层减少两级台阶，顶层绕塔一周需十二步，每往下一层绕塔一周需多三步，则这位游客从底层进入塔身开始到顶层绕塔一周停止共需()

A．352步B．387步C．332步D．368步

跟踪训练1(1)(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是()

A．a2＋a3＝0 B．an＝2n－5

C．Sn＝n(n－4) D．d＝－2

(2