重难点03函数的单调性（6种考法）（解析版）.docx

重难点03函数的单调性（6种考法）

【目录】

考法1：定义法判断或证明函数的单调性

考法2：根据函数的单调性求参数值

考法3：复合函数的单调性

考法4：根据函数的单调性解不等式

考法5：比较函数值的大小

考法6：根据函数的解析式直接判断函数的单调性

二、命题规律与备考策略

二、命题规律与备考策略

一．函数的单调性

【解题方法点拨】

判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．

单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．

设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么

①?f（x）在[a，b]上是增函数；

?f（x）在[a，b]上是减函数．

②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0?f（x）在[a，b]上是增函数；

（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0?f（x）在[a，b]上是减函数．

函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．

【命题方向】

函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．

二、函数单调性判断

【解题方法点拨】

证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．

利用函数的导数证明函数单调性的步骤：

第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．

第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．

第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．

第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．

第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．

第六步：明确规范地表述结论

【命题方向】

从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．

三、复合函数的单调性

【解题方法点拨】

求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：

（1）确定定义域；

（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；

（3）分别确定两基本初等函数的单调性；

（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．

【命题方向】

理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．

四．函数奇偶性

【解题方法点拨】

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．

【命题方向】函数奇偶性的应用．

本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．

五、奇偶性与单调性的综合

【解题方法点拨】

参照奇偶函数的性质那一考点，有：

①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；

②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；

③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；

④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反

【命题方向】奇偶性与单调性的综合．

不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．

三

三、题型方法

考法1：定义法判断或证明函数的单调性

一、单选题

1．（2023·北京顺义·