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奥数题型与解题思路1~10讲

【最小值问题】

例1外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观°甲、乙、丙、丁四地和甲乙、

乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤°为了保证安全，上级决定在沿途

增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等°

现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加

______位民警°

（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）

讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有

一位民警，共有7位民警°他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，

2个2000米°现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相

等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路°

由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民

警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）°

例2在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92

所示，它们爬行的速度相等°若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面

最省时？

（湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）

讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三

者同时到达，即各自行的路程相等°

我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上°这

样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短°

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所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出

AO=OC=OB°

故，O点即为三只蚂蚁会面之处°

【最大值问题】

例1有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c°判断：图5.94的三个梯形中，

第几个图形面积最大？

（全国第二届“华杯赛”初赛试题）

讲析：三个图的面积分别是：

三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的

和一定°其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最

大°由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近°

故图（3）的面积最大°

例2某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能

卖出500个°已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个°为了使这一

天能赚得更多利润，售价应定为每个______元°

（台北市数学竞赛试题）

讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少

10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个°

现把600个商品按每份10个，可分成60份°因每个涨价1元，销量就减少

1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份°

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所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长

长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30

份，此时有最大的利润°

因此，每个售价应定为90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润°

2、最值规律

【积最大的规律】

（1）多个数的和一定（为一个不变的常数），当这几个数均相等时，它们

的积最大°用字母表示，就是

如果a+a+…+a=b（b为一常数），

12n

那么，当a=a=…=a时，a×a×…×a有最大值°

12n12n

例如，a+a=10，

12

…………→…………；

1+9=10→1×9=9；

2+8=10→2×8=16；

3+7=10→3×7=21；

4+6=1