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幂级数的收敛区
间及应用问题
目录
•幂级数简介
•幂级数的收敛区间
•幂级数的应用问题
•幂级数的实际应用案例
•总结与展望
01
幂级数简介
幂级数的定义
010203
幂级数是一种无穷序列，其中幂级数的一般形式为幂级数中的每一项$a_nx^n$
每一项都是一个非零常数与一$sum_{n=0}^{infty}a_n都可以看作是基底$x$的幂次
个幂的乘积。x^n$，其中$a_n$是常数，$n$与系数$a_n$的乘积。
$x$是变量。
幂级数的性质
01
幂级数是无穷的，即它包含无限多个项。
02
幂级数的每一项都是非负的。
03
幂级数的和可以是实数、复数或无穷大，取决于它
的收敛性。
幂级数的收敛性
收敛性取决于基底$x$的值和幂级数的系数
$a_n$。
幂级数在某个区间内收敛是指它的部分
和（即前$N$项的和）当$N$趋于无
穷大时趋于一个有限的极限。
在某些区间内，幂级数是发散的，
即它的部分和趋于无穷大。
02
幂级数的收敛区间
收敛区间的确定方法
柯西准则
对于幂级数$suma_nx^n$，如果存在$R$，当$|x|R$时，级数收敛；当
$|x|R$时，级数发散，则称$R$为幂级数的收敛半径，区间$(-R,R)$为幂级
数的收敛区间。
达朗贝尔判别法
通过比较系数的方法，利用已知的收敛幂级数来确定未知幂级数的收敛区间。
收敛区间的计算
根据柯西准则，首先确定收敛半径$R$，然后计算出收敛区
间$(-R,R)$。
对于收敛区间的端点，需要进行单独检验，判断在端点处级
数是收敛还是发散。
收敛区间的应用
01在复变函数中，幂级数的收敛区间决定了函数的
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