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课堂探究

1.平均数、中位数、众数的区别与联系

剖析:平均数在度量一组数据的集中化趋势的统计量中是应用最广泛的.计算平均数时全部数据都参加运算,因此,用它来反映一组数据的集中化趋势的代表性比较好.但是它也有缺点,主要的问题是平均数是根据一组数据中的全部数据来计算的,会受到数据中那些没有代表性的极端值的影响.因此,有时在计算平均数时,先剔除个别缺乏代表性的特殊值,所得到的结果可能会更具有代表性.

中位数主要受一组数据中的中间位置上的数值的影响,用中位数来反映一组数据中各数据大小的一般水平并不很精确.但中位数计算简单,与平均数相比,中位数不受数据中极端值的影响.从这个意义出发,它可以作为数据平均指标的代表值.

众数并没有通常意义上的“平均”的含义.但众数在数据中出现的次数最多,说明该数值在数据中最具有代表性.众数不会受到数据中极端值的影响,但并不是每一组数据都是具有众数的.对于分组数据而言,众数常常依赖于分组的情况,分组数改变时,众数可能就有较大的变化,稳定性较差.同时众数也可能是不唯一的.

2.方差、极差和标准差的特点

剖析:方差、极差和标准差是从不同角度描述一组数据的离散趋势的.它们各自的特点及应用如下:

虽然极差没有充分利用数据,不能提供更确切的信息,但由于只涉及两个数据,计算非常简便,所以极差在实际现场检查时经常利用,但极差没有考虑各中间值.

方差充分利用了所得到的数据,提供了更确切的信息.在统计中,方差能够较好地区别出不同组数据的分散情况或程度,但方差的单位是原始观测数据的单位的平方.而标准差能够和方差一样区分数据的分散情况,且其单位与原始观测数据的单位相同.

(1)当标准差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性.

(2)数据组x1,x2,…,xn的平均数为eq\x\to(x),方差为s2,标准差为s,则数据组ax1+b,ax2+b,…,axn+b(a,b为常数)的平均数为aeq\x\to(x)+b,方差为a2s2,标准差为as.

题型一用众数、中位数、平均数估计总体

【例1】某工厂人员及工资构成如下表:

人员

经理

管理人员

高级技工

工人

学徒

合计

周工资

2200

250

220

200

100

人数

1

6

5

10

1

23

(1)指出这个问题中的众数、中位数、平均数.

(2)这个问题中,平均数能客观地反映该工厂的工资水平吗?为什么?

分析:本题着眼于众数、中位数、平均数各自的特点,以及适用对象.

解:(1)由题中表格可知:众数为200,中位数为220,平均数为(2200+250×6+220×5+200×10+100)÷23=300(元/周).

(2)虽然平均数为300元/周,但从题中表格中所列出的数据可见,只有经理在平均数以上,其余的人都在平均数以下,故用平均数不能客观真实地反映该厂的工资水平.

反思平均数受数据中的极端值的影响较大,降低了对总体估计的可靠性,这时平均数反而不如众数、中位数更客观.

题型二用方差或标准差估计总体

【例2】(2013江苏高考,6)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位:环),结果如下:

运动员

第1次

第2次

第3次

第4次

第5次

87

91

90

89

93

89

90

91

88

92

则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为__________.

解析:由题中数据可得eq\x\to(x)甲=90,eq\x\to(x)乙=90.

于是seq\o\al(2,甲)=eq\f(1,5)[(87-90)2+(91-90)2+(90-90)2+(89-90)2+(93-90)2]=4,seq\o\al(2,乙)=eq\f(1,5)[(89-90)2+(90-90)2+(91-90)2+(88-90)2+(92-90)2]=2,

由seq\o\al(2,甲)〉seq\o\al(2,乙),可知乙运动员成绩稳定.故应填2.

答案:2

反思对于常用的平均数、方差、标准差的公式要能够熟练记忆,不能记错公式,造成计算上的失误,使得统计的结果失去真实的意义.另外,应用求得的标准差的结论时,要特别注意标准差较大,数据的离散程度较大;标准差较小,数据的离散程度较小.

题型三样本数字特征的应用

【例3】画出下列四组数据的频率分布条形图,并说明它们的异同点.

(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5;

(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6;

(3)3,3,4,4,5,6,6,7,7;

(4)2,2,2,2,5,8,8,8,8.

分析:比较四组数据的异同可从它们的平均数、标准差这些数字特征入手,分析它们的集中趋势或离散程度.

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