2024-2025学年上海市川沙中学高二上学期第二次月考（12月）数学试卷含详解.docx

2026届川沙中学高二第一学期第二次月考数学试卷

一,填空题（3×12=36分）

1．直线的倾斜角为.

2．椭圆的焦点坐标为.

3．直线与直线平行,则.

4．如图所示,在正方体中,若为的中点,则直线与所成角的余弦值为.

5．已知圆锥的侧面积（单位：）为2π,且它的侧面积展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径（单位：）是．

6．已知直线过点,且与直线的夹角为,则直线的方程为.

7．双曲线C：的离心率为,焦点到渐近线的距离为.

8．已知是椭圆上一点,则点P到点的距离的取值范围为

9．若直线与曲线恰有两个不同的公共点,则实数b的取值范围为.

10．已知点,,点P为椭圆上的动点,则的最小值为.

11．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为,则椭圆上一点处的切线方程为．试运用该性质解决以下问题：椭圆C：,点B为C在第一象限中的任意一点,过点B作C的切线l,l分别与x轴和y轴的正半轴交于M,N两点,则面积的最小值为．

12．高二年级某同学打篮球时,发现当篮球放在地面上时,篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆.通过自学与老师探讨,他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点,他在家里做了个探究实验：如图所示,当篮球放在桌面并被斜上方一个灯泡（当成质点）发出的光线照射后,在桌面上留下的影子是椭圆,且篮球与桌面的接触点是椭圆的右焦点,若篮球的半径为1个单位长度,灯泡与桌面的距离为4个单位长度,灯泡垂直照射在平面上的点为,椭圆的右顶点到点的距离为3个单位长度,则此时椭圆的离心率．

二,选择题（3×4=12分）

13．已知l,m,n表示不同的直线,,,表示不同的平面,则下列四个命题正确的是（????）

A．若,且,则 B．若,,,则

C．若,且,则 D．若,,,则

14．若方程表示双曲线,则此双曲线的虚轴长等于（???）

A． B． C． D．

15．如图,A为平面内一定点,是平面的定长斜线段,A为斜足,若点P在平面内运动,使面积为定值,则动点P的轨迹是（???）

A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线

16．在平面直角坐标系中,对于定点,记点集中距离原点O最近的点为点,此最近距离为．当点P在曲线上运动时,关于下列结论：①点的轨迹是一个圆,②的取值范围是．正确的判断是（????）

A．①成立,②成立 B．①成立,②不成立

C．①不成立,②成立 D．①不成立,②不成立

三,解答题（8+8+10+12+14）

17．已知,为实数,平面直角坐标系内三条直线,直线,,：,：.

(1)若,且经过点?1,1,求实数,的值.

(2)若且,求实数,的值.

18．已知圆C：,其中.

(1)已知圆C与圆：相切,求m的值.

(2)如果直线与C相交所得的弦长为,求m的值.

19．如图,在几何体中,已知平面,且四边形为直角梯形,,,,点E为中点.

??

(1)求证：平面.

(2)若与平面所成的角为,求点P到平面的距离.

20．已知双曲线C：的离心率为,且过点

(1)求双曲线C的方程.

(2)过左焦点F且倾斜角为的直线交双曲线于A,B两点,求线段长.

(3)若P,Q是双曲线C上的两点,M是C的右顶点,且直线与的斜率之积为,证明：直线恒过定点,并求出该定点的坐标.

21．已知椭圆E：的离心率为,且过点2,0,直线交E于A,B两点.

??

(1)求E的方程.

(2)求三角形的面积的最大值.

(3)若E上存在点P使得,在上的投影向量相等,且的重心在y轴上,求直线的方程.

1．

【分析】根据直线斜率与倾斜角关系直接求解即可.

【详解】设直线的倾斜角为.

直线的斜率为,,.

故答案为：.

2．

【分析】由椭圆的性质求出即可.

【详解】由题意可得,所以,且焦点在y轴上.

所以焦点坐标为.

故答案为：.

3．1

【分析】由两直线平行可得解一元二次方程,然后检验即可.

【详解】由题意可得,解得或.

当时,直线即,直线即,两直线重合,不符合题意,舍去.

当时,符合题意.

所以.

故答案为：1

4．

【解析】取的中点,连接,,则,则为直线与所成角,设正方体的棱长为,求解三角形,即可得出结果.

【详解】解：如图.

取的中点,连接,.

则,则为直线与所成角.

设正方体的棱长为.

则,.

.

直线与所成角的余弦值为.

故答案为：.

【点睛】本题考查异面直线所成角的求法,考查数形结合的解题思想方法,是基础题.

5．

【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组,由此求得底面半径.

【详解】设圆锥底面半径为,母线长为,则

,解得.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算,