东北三省精准教学2024-2025学年高三上学期12月联考数学试卷.docx

东北三省精准教学2024年12月高三联考

数学

本试卷满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数（i为虚数单位），则|z|＝

A．2B．C．D．1

2．已知，则“”是“”的

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

3．已知向量，，且，则

A．3B．C．D．

4．已知函数（，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是

A．直线是f（x）图象的一条对称轴

B．f（x）图象的对称中心为，

C．f（x）在区间上单调递增

D．将f（x）的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象

5．正四棱台在古代被称为“方亭”，在中国古代建筑中有着广泛的应用．例如，古代园林中的台榭建筑常常采用这种结构，台上建有屋宇，称为“榭”，这种结构不仅美观，还具有广瞻四方的功能，常用于观赏和娱乐．在正四棱台ABCD-A′B′C′D′中，，，，则

A．2B．C．D．3

6．已知等比数列的前n项和为，且，其中．若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个公差为d的等差数列，则d＝

A．2B．3C．D．

7．已知双曲线C：的右焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于P，Q两点．点P为线段FQ的中点，且，则双曲线C的离心率为

A．B．C．2D．3

8．已知f（x）是定义在R上的函数，且，，则

A．-2B．-3C．D．

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9．已知，，且，则下列不等式恒成立的有

A．B．C．D．

10．如图，菱形ABCD的边长为2，，E为边AB的中点．将△ADE沿DE折起，折叠后点A的对应点为A′，使得，连接A′B，A′C，则下列说法正确的是

A．D到平面A′BC的距离为B．四面体A′-CDE的外接球表面积为8π

C．BC与A′D所成角的余弦值为D．直线A′B与平面A′CD所成角的正弦值为

11．已知函数f（x）为R上的奇函数，当时，，且f（x）的图象关于点（1，1）中心对称，则下列说法正确的是

A．B．直线与f（x）图象有8个交点

C．是周期为2的周期函数D．方程所有根的和为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12．已知等差数列，，则________．

13．已知集合，，且的非空子集的个数为3，则整数b的一个可能取值为________．

14．已知函数，若恒成立，则a的取值范围是________．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的周长为18，b，c，a成递增的等差数列，．点D，E和F分别在BC，AC和AB上，满足，，．

（1）求a，b，c的值；

（2）求证：AD，BE和CF三线交于一点K．

16．（15分）如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，，，点E是PC的中点．

（1）证明：；

（2）当时，求二面角P-BC-A的余弦值．

17．（15分）城市活力是城市高质量发展的关键表征，其反映了城市空间治理能力现代化的水平．城市活力由人群活动和实体环境两方面构成，通过数学建模研究表明：一天中，区域的居民活动类型（工作、学习和休闲）越丰富，活动地点总数越多，区域之间人口流动越频繁，城市活力度越高．Q市基于大数据测算城市活力度，发现该市一工作日中活力度与时间的关系可以用函数来近似刻画，其中正午12点的城市活力度为20，是工作日内活力度的最高值；24点到次日早上6点期间的城市活力度均为工作日内活力度的最低值．

（1）分别求m，n的值；

（2）求该工作日内，Q市活力度不大于10的总时长．

18．（17分）已知函数，其中，是自然对数的底数，f（x）是g（x）的导函数．

（1）当时，求曲线在点（1，g（1））处的切线方程；

（2）当f（x）存在极值时，证明：f（x）的极值小于或等于1．

19．（17分）记数列的前n项和为，已知．

（1）求的通项公式；

（2）