北师大版高数必修四第10讲简单的三角恒等变换教师版.docVIP

简单的三角恒等变换

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1、会利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换；

2、能根据问题的条件进行公式变形，体会在变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法.

一、降幂公式：

1、公式推导：试以表示．

解析：我们可以通过二倍角和来做此题．（二倍角公式中以?代2?，代?）

解：因为，可以得到；

因为，可以得到．

两式相除可以得到．

点评：⑴以上结果还可以表示为：

并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决定.

⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.

⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.

二、积化和差公式：

1、公式推导:（１）；

（２）．

证明：（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

；．

两式相加得；

即；

（２）由（１）得①；设，

那么．

把的值代入①式中得．

三、本章公式梳理：

例1已知.

证明一:∵,

∴cos4A·sin2B+sin4A·cos2B=sin2B·cos+B.

∴cos4A(1-cos2B)+sin4A·cos2B=(1-cos2B)cos2B,

即cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B.

∴cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0.

∴(cos2A-cos2B)2=0.∴cos2A=cos2B.∴sin2A=sin2B.

∴cos2B+sin2B=1.

证明二:令=sinα,

则cos2A=cosBcosα,sin2A=sinBsinα.

两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1.

∴B-α=2kπ(k∈Z),即B=2kπ+α(k∈Z).

∴cosα=cosB,sinα=sinB.

∴cos2A=cosBcosα=cos2B,sin2A=sinBsinα=sin2B.

∴=cos2B+sin2B=1.

点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.

练习：在锐角三角形ABC中,ABC是它的三个内角,记S=,求证:S1.

证明:∵S=

又A+B90°,∴90°A90°-B0°.

∴tanAtan(90°-B)=cotB0,

∴tanA·tanB1.∴S1.

例2证明=tan(+).

解：方法一：从右边入手，切化弦，得

tan(+)=,由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos+sin,得

方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得

由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得

=tan(+).

点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.

练习：已知α,β∈(0,)且满足:3sin2α+2sin2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.

解法一:3sin2α+2sin2β=13sin2α=1-2sin2β,即3sin2α=cos2β,①

3sin2α-2sin2β=03sinαcosα=sin2β,②

①2+②2:9sin4α+9sin2αcos2α=1,即9sin2α(sin2α+cos2α)=1,

∴sin2α=.∵α∈(0,),∴sinα=.

∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα·3sin2α+cosα·3sinαcosα=3sinα(sin2α+cos2α)=3×=1.

∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.

解法二:3sin2α+2sin2β=1cos2β=1-2sin2β=3sin2α,

3sin2α-2sin2β=0sin2β=sin2α=3sinαcosα,

∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β

=cosα·3sin2α-sinα·3sinαcosα=0.

∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.

解法三:由已知3sin2α=cos2β,sin2α=sin2β,

两式相除,得t