有哪些信誉好的足球投注网站- 1、本文档共17页，可阅读全部内容。
- 2、有哪些信誉好的足球投注网站（book118）网站文档一经付费（服务费），不意味着购买了该文档的版权，仅供个人/单位学习、研究之用，不得用于商业用途，未经授权，严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等，侵权必究。
- 3、本站所有内容均由合作方或网友上传，本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺！文档内容仅供研究参考，付费前请自行鉴别。如您付费，意味着您自己接受本站规则且自行承担风险，本站不退款、不进行额外附加服务；查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档，您可以点击 这里二次下载。
- 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等，请点击“版权申诉”（推荐），也可以打举报电话：400-050-0827(电话支持时间：9:00-18:30)。
量子力学期末试题及答案
第
第PAGE1页共NUMPAGES14页
量子力学期末试题及答案
一、（20分）已知氢原子在时处于状态
其中，为该氢原子的第个能量本征态。求能量及自旋分量的取值概率与平均值，写出时的波函数。
解已知氢原子的本征值为
，（1）
将时的波函数写成矩阵形式
（2）
利用归一化条件
（3）
于是，归一化后的波函数为
（4）
能量的可能取值为，相应的取值几率为
（5）
能量平均值为
（6）
自旋分量的可能取值为，相应的取值几率为
（7）
自旋分量的平均值为
（8）
时的波函数
（9）
二.（20分）质量为的粒子在如下一维势阱中运动
若已知该粒子在此势阱中有一个能量的状态，试确定此势阱的宽度。
解对于的情况，三个区域中的波函数分别为
（1）
其中，
（2）
利用波函数再处的连接条件知，，。
在处，利用波函数及其一阶导数连续的条件
（3）
得到
（4）
于是有
（5）
此即能量满足的超越方程。
当时，由于
（6）
故
（7）
最后得到势阱的宽度
（8）
三、（20分）证明如下关系式
（1）任意角动量算符满足。
证明对分量有
同理可知，对与分量亦有相应的结果，故欲证之式成立。
投影算符是一个厄米算符，其中，是任意正交归一的完备本征函数系。
证明在任意的两个状态与之下，投影算符的矩阵元为
而投影算符的共軛算符的矩阵元为
显然，两者的矩阵元是相同的，由与的任意性可知投影算符是厄米算符。
利用证明，其中，为任意正交归一完备本征函数系。
证明
四、（20分）在与表象中，在轨道角动量量子数的子空间中，分别计算算符、与的矩阵元，进而求出它们的本征值与相应的本征矢。
解在与表象下，当轨道角动量量子数时，，显然，算符、与皆为三维矩阵。
由于在自身表象中，故是对角矩阵，且其对角元为相应的本征值，于是有
（1）
相应的本征解为
（2）
对于算符、而言，需要用到升降算符，即
（3）
而
（4）
当时，显然，算符、的对角元皆为零，并且，
（5）
只有当量子数相差时矩阵元才不为零，即
（6）
于是得到算符、的矩阵形式如下
（7）
满足的本征方程为
（8）
相应的久期方程为
（9）
将其化为
（10）
得到三个本征值分别为
（11）
将它们分别代回本征方程，得到相应的本征矢为
（12）
满足的本征方程为
（13）
相应的久期方程为
（14）
将其化为
（15）
得到三个本征值分别为
（
文档评论（0）