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专题06一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
【思维导图】
?知识点一：根的判别式【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△
?知识点一：根的判别式
【技巧】根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
◎考点1根据判别式判断根的情况
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出Δ的值，再判断出其符号即可．
【详解】
解：∵Δ=（-3）2-4×1×(-1)=13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的情况与判别式Δ的关系：
（1）Δ＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ=0?方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0?方程没有实数根．
练习1．（2021·四川凉山·模拟预测）关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k﹣6＝0有两个实数根，则k的取值范围是（）
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程有两个实数根，可知k-2≠0，b2-4ac≥0，求出k的取值范围．
【详解】
解：根据题意得k﹣2≠0且b2-4ac＝(﹣2k)2﹣4(k﹣2)(k﹣6)≥0，
解得且k≠2，
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，注意一元二次方程ax2+bx+c=0成立的条件是a≠0．
练习2．（2021·广东·东莞市光明中学九年级期中）一元二次方程的根的情况是（???????）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的判别式进行判断即可．
【详解】
解：∵，
∴原方程有两个不相等的实数根．
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
练习3．（2021·湖北荆门·模拟预测）小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小2．则原方程的根的情况是（）
A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用已知的a、b，以及解出的一个根，求出c，再根据“所抄的比原方程的值小2”得出正确的c值，最终利用根的判别式判断根的情况即可．
【详解】
解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是，
，
解得：，
故原方程中，
则，
则原方程的根的情况是不存在实数根．
故选：A．
【点睛】
本题重点考查的是一元二次方程中根的判别式的应用，熟练掌握一元二次方程中的运算，以及判别式的运用是解题的关键．
◎
◎考点2根据根的情况求参数
例．（2022·海南海口·九年级期末）若关于x的方程（k为常数）有两个相等的实数根，则k的值为（???????）
A．﹣4 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据方程x2-x+k=0有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2-4ac=0，从而列关于k的方程求解即可．
【详解】
解：∵方程有两个相等的实数根，
∴△=b2?4ac=（-1）2-4k=0，
解得：k=．
故选D．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，当一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0．
练习1．（2022·甘肃兰州·九年级期末）已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（???????）
A．k≤-2 B．k≤2 C．k≥2 D．k≤2且k≠1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据方程有两个实数根则，再结合二次项系数，即可得到关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】
解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
解得：且．
故选：D．
【点睛】
本题考查了根的判别式，根据根的判别式，结合二次项系数不为0，得出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
练习2．（2021·四川省荣县中学校九年级期中）若关于x的方程无实数根，则一次函数的图象不经过的象限是（????????）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】
【
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