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专题06一元二次方程根的判别式和根与系数的关系
【思维导图】
?知识点一:根的判别式【技巧】根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△
?知识点一:根的判别式
【技巧】根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:①当△>0时,方程有两个不相等的实数根;
②当△=0时,方程有两个相等的实数根;
③当△<0时,方程无实数根.上面的结论反过来也成立.
◎考点1根据判别式判断根的情况
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出Δ的值,再判断出其符号即可.
【详解】
解:∵Δ=(-3)2-4×1×(-1)=13>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
故选:A.
【点睛】
本题考查的是根的判别式,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况与判别式Δ的关系:
(1)Δ>0?方程有两个不相等的实数根;
(2)Δ=0?方程有两个相等的实数根;
(3)Δ<0?方程没有实数根.
练习1.(2021·四川凉山·模拟预测)关于x的一元二次方程(k﹣2)x2﹣2kx+k﹣6=0有两个实数根,则k的取值范围是()
A.k≥0 B.k≥0且k≠2 C.k≥ D.k≥且k≠2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据一元二次方程有两个实数根,可知k-2≠0,b2-4ac≥0,求出k的取值范围.
【详解】
解:根据题意得k﹣2≠0且b2-4ac=(﹣2k)2﹣4(k﹣2)(k﹣6)≥0,
解得且k≠2,
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程根的判别式,注意一元二次方程ax2+bx+c=0成立的条件是a≠0.
练习2.(2021·广东·东莞市光明中学九年级期中)一元二次方程的根的情况是(???????)
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的判别式进行判断即可.
【详解】
解:∵,
∴原方程有两个不相等的实数根.
故选A.
【点睛】
本题考查了一元二次方程(为常数)的根的判别式,理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键.当时,方程有两个不相等的实数根;当时,方程有两个相等的实数根;当时,方程没有实数根.
练习3.(2021·湖北荆门·模拟预测)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了a=1,b=3,解出其中一个根是.他核对时发现所抄的比原方程的值小2.则原方程的根的情况是()
A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有一个根是x=﹣1 D.有两个相等的实数根
【答案】A
【解析】
【分析】
首先利用已知的a、b,以及解出的一个根,求出c,再根据“所抄的比原方程的值小2”得出正确的c值,最终利用根的判别式判断根的情况即可.
【详解】
解:小刚在解关于的方程时,只抄对了,,解出其中一个根是,
,
解得:,
故原方程中,
则,
则原方程的根的情况是不存在实数根.
故选:A.
【点睛】
本题重点考查的是一元二次方程中根的判别式的应用,熟练掌握一元二次方程中的运算,以及判别式的运用是解题的关键.
◎
◎考点2根据根的情况求参数
例.(2022·海南海口·九年级期末)若关于x的方程(k为常数)有两个相等的实数根,则k的值为(???????)
A.﹣4 B.4 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据方程x2-x+k=0有两个相等的实数根,则根的判别式△=b2-4ac=0,从而列关于k的方程求解即可.
【详解】
解:∵方程有两个相等的实数根,
∴△=b2?4ac=(-1)2-4k=0,
解得:k=.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程的根的判别式,当一元二次方程有两个相等的实数根,则根的判别式为0.
练习1.(2022·甘肃兰州·九年级期末)已知关于x的一元二次方程(k-1)x2-2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是(???????)
A.k≤-2 B.k≤2 C.k≥2 D.k≤2且k≠1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据方程有两个实数根则,再结合二次项系数,即可得到关于k的一元一次不等式组,解不等式组即可得出结论.
【详解】
解:∵关于x的一元二次方程有实数根,
∴,
解得:且.
故选:D.
【点睛】
本题考查了根的判别式,根据根的判别式,结合二次项系数不为0,得出关于k的一元一次不等式组是解题的关键.
练习2.(2021·四川省荣县中学校九年级期中)若关于x的方程无实数根,则一次函数的图象不经过的象限是(????????)
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【解析】
【
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