专题1.3.3函数的最大(小)值与导数 2018-2019学年高二数学(理)人教版(选修2-2)Word版含解析.doc

1．函数的最值与导数

1．函数的最值与导数

一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条的曲线，那么它必有最大值与最小值.

2．求函数最值的步骤

2．求函数最值的步骤

求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下：

（1）求函数y=f(x)在(a,b)内的；

（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的

一个是最小值.

K

K知识参考答案：

1．连续不断2．极值

1．连续不断2．极值

K—重点K—难点K—易错

利用导数求函数最值的方法、函数最值的应用

函数的最大值、最小值与函数的极大值、极小值的区别与联系，恒成立问题求最值时，易忽略函数的定义域

求函数的最值

求函数最值的步骤是：（1）求函数y=f(x)在(a，b)内的极值；（2）将函数y=f(x)的各极值与端点

处的函数值f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键．需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论.

已知函数f(x)=ex—ax2—bx—1，其中a,b∈R，e=2.71828...为自然对数的底数．设g(x)

是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值.

【

【答案】见解析.

【解析】由f(x)=ex—ax2—bx—1，有g(x)=f’(x)=ex—2ax—b，所以g’(x)=ex—2a.

因此，当x∈[0,1]时，g’(x)∈[1—2a,e—2a].

1

当a≤时，g’(x)≥0，所以g(x)在区间[0,1]上单调递增.

2

于是，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a—2aln(2a)—b.

1

综上所述，当a≤时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)=1—b；

2

1e当a时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(ln(2a))=2a—2aln(2a)—b

1e

22

e当a≥时，g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)=e—2a—b.

e

2

【名师点睛】（1）若所给区间是开区间，则函数不一定有最大值和最小值；（2）函数的最大（小）值最多

只能有一个，而最大（小）值点却可以有多个.

函数最值的应用

由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值.

1x已知函数f(x)

1x

+alnx,a∈R.

（1）求函数f(x)的单调递减区间；

1

（2）当x∈[,1]时，f(x)的最小值是0，求实数a的值.

2

【答案】（1）见解析.

1aax—1【解析】（1）f’(x)=—+=，x

1aax—1

x2xx2

当a≤0时，f’(x)0在(0,+∞)上恒成立，则f(x)的单调递减区间为(0,+∞)；

11

aa当a0时，令f’(x)0，得0x，则f(x)的单调递减区间为(0,

aa

【名师点睛】本题中的参数a对函数的单调性有影响，从而影响函数的最值，因此需要对a进行分类讨论.

恒成立问题

利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式f(x)a在区间[m，n]上

恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数的最大值f(x)max，只要af(x)max，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式f(x)a在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数的最小值f(x)min，只要f(x)mina，则不等式f(x)a恒成立.