北师大版数学九上期末重难点培优训练专题02 利用三角函数解决实际问题(原卷版).doc

专题02利用三角函数解决实际问题

考点一利用三角函数解决仰角俯角问题考点二利用三角函数解决方位角问题

考点三利用三角函数解决坡度坡比问题考点四利用三角函数测高问题

考点五构造直角三角形求不规则图形的边长或面积

考点一利用三角函数解决仰角俯角问题

1．（2021·陕西·渭南初级中学九年级期中）李威在A处看一棵大树的顶端D处的仰角是30°，向树的方向前进30米到B处看树顶D处的仰角是60°，李威的眼睛离地面高米，已知，E、F、G在一条直线上，求树高是多少？（结果保留根号）

【变式训练】

1．（2022·山东·利津县东津实验中学九年级阶段练习）为了测量教学楼的高度，某同学先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为，再沿方向前行米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为，已知测角仪的高为1.5米，求此楼的高为多少米？（结果精到0.1米，）

2．（2022·重庆市育才中学九年级阶段练习）如图所示，在大楼的正前方有一斜坡（坡角），在它们之间有一片水域，现要测量大楼的高度．小明在斜坡上的点D处利用热气球探测器测得楼顶点B处的仰角为；当热气球探测器竖直向上上升到点F处，测得楼顶点B处的仰角为；已知米，米，其中点在同一直线上．（参考数据：，）

(1)求斜坡的高度（精确到十分位）；

(2)求大楼的高度（精确到十分位）．

3．（2022·安徽·合肥市五十中学新校二模）如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．

(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；

(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？

考点二利用三角函数解决方位角问题

例题：（2022·湖南·长沙市北雅中学模拟预测）如图，某日我国某岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A、B船在A船的正东方向，且两船保持20海里的距离，某一时刻两海监船同时测得在A的东北方向，B的北偏东15°方向有一我国渔政执法船C，求此时船C与船B的距离是多少．（结果保留根号）

【变式训练】

1．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在东西方向的海岸线l上有长为300米的码头AB，在码头的最西端A处测得轮船M在它的北偏东方向上；同一时刻，在A点正东方向距离100米的C处测得轮船M在北偏东方向上．（参考数据：，，，．）

(1)求轮船M到海岸线l的距离；（结果精确到0.01米）

(2)如果轮船M沿着南偏东的方向航行，那么该轮船能否行至码头AB靠岸？请说明理由．

2．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为千米，灯塔B到航线l的距离为千米，灯塔B位于灯塔A南偏东方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（参考数据：，，，）

(1)求两个灯塔A和B之间的距离；

(2)求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．

3．（2022·浙江宁波·一模）如图，某渔船沿正东方向以10海里／小时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛周围9海里内有暗礁．参考数据：，，．

(1)B处离岛C有多远？如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？

(2)如果渔船在B处改为向东偏南方向航行，有无触礁危险？

考点三利用三角函数解决坡度坡比问题

例题：（2022·湖南·炎陵县教研室一模）如图，株洲市炎陵县某中学在实施“五项管理”中，将学校的“五项管理”做成宣传牌（CD），放置在教学楼A栋的顶部（如图所示）该中学数学活动小组在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿芙蓉小学围墙边坡AB向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°．已知山坡AB的坡度为i=1：3，AB=2m，AE=8m．

(1)求点B距水平面AE的高度BH．

(2)求宣传牌CD的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：≈1.414,≈1.732）

【变式训练】

1．（2022·上海·九年级专题练习）如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图，上桥通道由两段互相平行并且与地面成37°角的楼梯AD、BE和一段水平平台DE构成．已知天桥高度BC=5.4米，引桥水平跨度AB=9米．

(1)求水平平台DE的长度

(2)若与地面垂直的平台立柱MN的高度为3米，求两段楼梯AD、CE的长度之比．

（参考数据：取sin37??0.60，cos37??0.