备战2025年高考二轮复习数学课件专题：数列的递推关系.pptVIP

数列的递推关系

基础回扣?考教衔接以题梳点?核心突破目录索引

基础回扣?考教衔接

1.(人A选必二4.2.2节习题改编)如果数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,那么a12的值为()A.23 B.24 C.25 D.26C解析由数列{an}的前n项和Sn=n2+2n,可得a12=S12-S11=122+2×12-(112+2×11)=25.故选C.

2.(人A选必二4.1节习题改编)已知数列{an}满足a1=9,an+1-an=n,则a4=()A.20 B.18 C.15 D.10解析因为an+1-an=n,则a4-a3=3,a3-a2=2,a2-a1=1,相加可得a4-a1=6,即a4=a1+6,且a1=9,所以a4=a1+6=15.故选C.C

B

4.(人A选必二4.1节习题改编)设Sn为数列{an}的前n项和,且an=2Sn+5,则S2024=()A.-2024 B.2024 C.-5 D.0D

真题体验1.(2023·天津,5)已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,an+1=2Sn+2(n∈N*),则a4=()A.16 B.32 C.54 D.162解析当n≥2,n∈N*时,an=2Sn-1+2,所以an+1-an=2an,即an+1=3an.当n=1时,a2=2Sn+2=2a1+2=6=3a1,所以数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列,则a4=a1q3=54.故选C.C

2.(2024·新高考Ⅰ,8)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)f(x-1)+f(x-2),且当x3时,f(x)=x,则下列结论中一定正确的是()A.f(10)100 B.f(20)1000C.f(10)1000 D.f(20)10000B解析∵当x3时,f(x)=x,∴f(1)=1,f(2)=2.∵f(x)的定义域为R,且f(x)f(x-1)+f(x-2),∴f(3)f(2)+f(1)=3,f(4)f(3)+f(2)5,f(5)f(4)+f(3)8,f(6)f(5)+f(4)13,f(7)f(6)+f(5)21,f(8)f(7)+f(6)34,f(9)f(8)+f(7)55,f(10)f(9)+f(8)89,f(11)f(10)+f(9)144,f(12)f(11)+f(10)233,f(13)f(12)+f(11)377,f(14)f(13)+f(12)610,f(15)f(14)+f(13)987,f(16)f(15)+f(14)1000.∴f(20)1000.结合各选项知,选项B一定正确.

以题梳点?核心突破

考点一通项公式an与Sn的关系?

解得a1=2.故an=2+2(n-1)=2n.

[对点训练1](2024·四川南充二模)在数列{an}中,Sn是其前n项和,且3Sn-an=64.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若?n∈N*,λ-1Sn≤4λ+4恒成立,求实数λ的取值范围.

考点二累加、累乘法例2(2024·江西南昌一模)对于各项均不为零的数列{cn},我们定义:数列为数列{cn}的“k-比分数列”.已知数列{an},{bn}满足a1=b1=1,且{an}的“1-比分数列”与{bn}的“2-比分数列”是同一个数列.(1)若{bn}是公比为2的等比数列,求数列{an}的前n项和Sn;(2)若{bn}是公差为2的等差数列,求an.

当n≥2时,an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=2+4+…+2n=n(n+1).当n=1时,1×(1+1)=2=a1,所以an=n(n+1).(2)设数列{bn}的公差为d,因为4b2=4b1+b4?4(b1+d)=5b1+3d,得d=b1,易知bn=b1n.

考点三构造辅助数列考向1形如an+1=pan+f(n)型例3(1)(2024·陕西榆林期末)已知数列{an}的前n项和为Sn,an+1=Sn+2n+1,a1=2,则Sn=()A.(n+1)·2n B.(n+1)·2n-1 C.n·2n-1 D.n·2nD

(2)(2024·江苏南通三模)设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn+n=2an,则a7=()A.65 B.127 C.129 D.255B解析当n=1时,a1+1=2a1,则a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-[2an-1-(n-1)]=2an-2an-1-1,∴an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1),a1+1=2≠0,∴{an+1}是2为首项,2为公比的等比数列,∴a7+1=2×26=27=128,∴a7=127.故选B.

[对点训练3](1)(2023·山东菏泽三模)已知数列{an}的前n项和为Sn,若满足Sn