《对数运算与对数函数》知识要点整合.doc

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《对数运算与对数函数》知识要点整合知识要点整合

一、对数的基本运算

1.对数运用应遵循的原则：对数式的运算要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧.

2.对于底数相同的对数式的化简，常用方法有：

（1）“收”，将同底的两个对数的和（差）收成积（商）的对数；

（2）“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）.

例1计算：.

解析运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式进行对数计算.

答案原式.

例2设，则的值为（）

A.6

B.3

C.2

D.1

解析由得，

答案D

二、与对数函数有关的函数图象

1.对数型函数图象过定点：求函数的图象过定点，令，求出x，即得定点为.

2.根据对数函数图象判断底数大小：作直线y=1与所给图象相交，交点的横坐标即为各底数，依据在第一象限，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大.

3.一般地，函数（a，b为实数）的图象是由函数的图象沿x轴向左或向右平移，再沿y轴向上或向下平移得到的；含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.

4.函数的图象与函数的图象关于x轴对称.

例3若函数的图象如图所示，则下列函数正确的是（）

A.

B.

C.

D.

解析由已知函数图象可得，，所以.A项，函数解析式为，在R上单调递减，与图象不符；C项中函数的解析式为，当时，，这与图象不符；D项中函数解析式为，在上为单调递减函数，与图象不符；B项中对应函数解析式为，与图象相符.

答案B

例4函数的图象一定经过点（）

A.（1，1）

B.（1，0）

C.（2，1）

D.（2，0）

解析把的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，即可得到的图象，故其经过点（2，1）.

答案C

三、与对数函数有关的函数的单调性及应用

1.复合函数的单调性.

（1）单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域；

（2）单调性相同，则为增函数，单调性相异，则为减函数，简称“同增异减”.

2.比较对数值大小常用的四种方法：

（1）同底数的利用对数函数的单调性；

（2）同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化；

（3）底数和真数都不同，找中间量；

（4）若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.

3.对数不等式.

（1）根据和去掉对数符号，注意不等号的方向；

（2）加上使对数式有意义的约束条件.

4.对数方程式.

含有对数的方程式，一般把方程左右两边表示成同底的对数式，然后根据真数相等得出新的方程，即可求解，注意所求的未知数要保证对数式有意义.

例5若，则（）

A.

B.

C.

D.

解析因为，则

对于A，函数在R上单调递增，故，A错误，

对于B，根据底数a对对数函数的影响：当时，在上“底小图高”，又因为，所以，B错误，

对于C，函数在上单调递增，故，C正确，

对于D，函数在R上单调减，故

答案C

例6已知函数，解关于x的不等式.

解析将不等式左右两边化为同底对数，再利用函数单调性解不等式.

答案因为，

所以，

所以，所以，

所以不等式可化为.

所以即所以，

所以不等式的解集为.

四、与对数函数有关的值域与最值

求函数值域或最值常用的方法：

（1）直接法：根据函数解析式的特征，从函数自变量的变化范围出发，通过对函数定义域、性质的观察，结合解析式，直接得出函数的值域.

（2）配方法：当所给的函数是可化为二次函数形式的，求值域可用配方法.

（3）单调性法：根据在定义域（或定义域的某个子集）上的单调性，求出函数的值域.

（4）换元法：求形如型函数的值域，①换元，令，利用函数图象和性质求出u的范围；②利用的单调性、图象求出y的取值范围.

例7已知且，若函数在区间上的最大值与最小值之差为1.

（1）求a的值；

（2）若，求函数的值域.

解析（1）利用单调性求解；（2）利用配方法求值域.

答案（1）因为，所以在上为增函数.

又在上的最大值与最小值之差为1，

所以，即，所以.

（2）函数.

令，因为所以，即.

所以，

所以所求函数的值域为.

例8求下列函数的值域：

（1）；（2）.

解析先求函数的定义域，再结合单调性求解.

答案（1）函数的定义域为R.

因为，所以，

所以函数的值域为.

（2）设，又，

所以.

因为在（0，+∞）上为减函数，

所以，

所以的值域为.

五、对数型函数的应用及幂函数、指数函数、对数函