专题12 二次函数中的存在性问题（解析版）.pdfVIP

专题12二次函数中的存在性问题

考点1：直角三角形存在性问题；考点2：等腰三角形存在性问题；考点3：平行四边形存在性问题；

考点4：菱形存在性问题；考点5：矩形存在性问题；考点6：正方形存在性问题。

题型01直角三角形存在性问题

9

=(−12+

1．平面直角坐标系中，抛物线)2与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，

请说明理由；

（3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出

点M的坐标，若不存在，请说明理由．

9

=(−12+

解：（1）将B（4，0）代入)2，

9

即0=9+，

2

1

解得：=−，

2

19

=−(−12+

∴2)2，

19

=−+=4

令x＝0，则，

22

19

令y＝0，则−2(−1)2+2=0，

解得：x1＝4，x2＝﹣2，A（﹣2，0），C（0，4）；

（2）存在点P，使△BCP是直角三角形，

19

=−(−12+

∵2)2，对称轴为直线x＝1，

设P（1，n），

∵B（4，0），C（0，4），

222222222

∴BC＝4+4＝32，BP＝（4﹣1）+n，PC＝1+（4﹣n），

222

①当∠BCP＝90°时，BP＝BC+PC，

2222

∴（4﹣1）+n＝32+1+（4﹣n），

解得：n＝5；

222

②当∠CBP＝90°时，PC＝BC+BP，

2222

∴1+（4﹣n）＝（4﹣1）+n+32

解得：n＝﹣3；

2222222

③当∠BPC＝90°时，BC＝BP+PC，32＝（4﹣1）+n+1+（4﹣n）

解得：=2−7或=2+7，

综上所述：P（1，5），（1，﹣3），（1，2+7），（1，2−7）；

（3）存在点M使AM+OM最小，理由如下：

作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，

由对称性可知，OM＝QM，

∴AM+OM＝AM+Q