2024年北师大版八年级上册数学第七章平行线的证明微专题11三角形折叠后的角度探究.pptx

第七章平行线的证明微专题11三角形折叠后的角度探究

(1)若折成图1的形状，使A点落在CE上，探究∠1与∠A的数量关系．?图1母题变式母题：(苏教七下P42改编)现有一张△ABC纸片，D，E分别是△ABC边上两点，沿直线DE折叠．解：由折叠得∠A＝∠DA’A，∵∠1＝∠A＋∠DA’A，∴∠1＝2∠A．解题方法(1)根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论．

解：由折叠得∠ADE＝∠A’DE，∠AED＝∠AED，∵∠ADB＋∠AEC＝360°，∴∠1＋∠2＝360°－∠ADE－∠ADE－∠AED－∠AED＝360°－2∠ADE－2∠AED，∴∠1＋∠2＝2(180°－∠ADE－∠AED)＝2∠A．(2)若折成图2的形状，探究∠1＋∠2与∠A的数量关系．?图2

解题方法(2)先根据折叠得∠ADE＝∠ADE，∠AED＝∠AED，由两个平角∠ADB和∠AEC得∠1＋∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果．

(3)若折成图3的形状，探究∠1，∠2与∠A的数量关系．解：∵∠2＝∠AFE＋∠A，∠AFE＝∠A＋∠1，∴∠2＝∠A＋∠A＋∠1，由折叠得∠A＝∠A，∴∠2＝2∠A＋∠1，∴∠2－∠1＝2∠A．图3解题方法(3)利用两次外角定理得出结论，或利用三角形内角和、平角定义得出结论．

(4)将以上问题进行推广，如图4，将四边形ABCD纸片沿MN折叠，使点A，B落在四边形NMCD的内部时，探究∠1＋∠2与∠A，∠B之间的数量关系．(提示：四边形四个内角的和为360°)?图4解：由折叠得∠BMN＝∠BMN，∠ANM＝∠ANM，∵∠DNA＋∠BMC＝360°，∴∠1＋∠2＝360°－2∠BMN－2∠ANM，∵∠BMN＋∠ANM＝360°－∠A－∠B，∴∠1＋∠2＝360°－2(360°－∠A－∠B)＝2(∠A＋∠B)－360°．

解题方法(4)与(2)类似，先由折叠得∠BMN＝∠BMN，∠ANM＝∠ANM，再由两平角的和为360°得∠1＋∠2＝360°－2∠BMN－2∠ANM，根据四边形的四个内角的和为360°，得∠BMN＋∠ANM＝360°－∠A－∠B，代入前式可得结论．