五年级奥数.几何.勾股定理与弦图(A级).学生版 .pdfVIP

五年级奥数.⼏何.勾股定理与弦图（A级）.学⽣版

华盛顿的傍晚

亲爱的⼩朋友们：

在那⼭的那边海那边的的美国⾸都华盛顿，有⼀位中年⼈，他聪明⼜勤奋，他潜⼼探讨，他反复思考与演算“……，那是1876

年⼀个周末的傍晚，在美国⾸都华盛顿的郊外，有⼀位中年⼈正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议

员加菲尔德。他⾛着⾛着，突然发现附近的⼀个⼩⽯凳上，有两个⼩孩正在聚精会神地谈论着什么，时⽽⼤声争论，时⽽⼩声

探讨。由于好奇⼼驱使，加菲尔德循声向两个⼩孩⾛去，想搞清楚两个⼩孩到底在⼲什么。只见⼀个⼩男孩正俯着⾝⼦⽤树枝

在地上画着⼀个直⾓三⾓形。于是加菲尔德便问他在⼲什么？那个⼩男孩头也不抬地说：请问先“⽣，如果直⾓三⾓形的两条

直⾓边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”加菲尔德答道：是“5呀。”⼩男孩⼜问道：如果“两条直⾓边分别为5和7，那么这

个直⾓三⾓形的斜边长⼜是多少？”加菲尔德不加思索地回答到：那“斜边的平⽅⼀定等于5的平⽅加上7的平⽅．”⼩男孩

说：先“⽣，你能说出其中的道理吗？”加菲尔德⼀时语塞，⽆法解释了，⼼⾥很不是滋味。加菲尔德不再散步，⽴即回家，潜

⼼探讨⼩男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明⽅法。具体⽅法如下：

两个全等的Rt

△

ABC和Rt△BDE可以拼成直⾓梯形ACDE，则梯形⾯积等于三个直⾓三⾓形⾯积之和。即

（AC＋DE）×CD÷2＝AC×BC÷2＋BD×DE÷2＋AB×BE÷2（a＋b）2

÷2＝a×b÷＋2a×b÷＋2c×c÷化简整2理得a2

＋b2

＝c2

课前预习

勾股定理与弦图

点评：此种解法主要利⽤了三⾓形的⾯积公式：底×⾼÷2，和梯形的⾯积公式：（上底+下底）×⾼÷2．

⽽在我国对于勾股定理的证明⼜做出了那些贡献哪？在我国古代，把直⾓三⾓形叫做勾股形。

把直⾓三⾓形的较短直⾓边称为勾“”，较长直⾓边为股“”，斜边称为弦“”，所以把这个定理称为勾股定理“”。勾股定理揭⽰了直

⾓三⾓形边之间的关系。即：在直⾓三⾓形中俩条直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅。公元前11世纪的《周髀算经》中提到:故

折矩,以为句⼴三,股修四、径修五．既⽅之.外半卿⼀矩,环⽽共盘.

得成三、四、五．

三国时期的赵爽注解道:句股各⾃乘,并之为弦实,开⽅除之,即弦.案:弦图⼜可以句股相乘为朱实⼆,倍之为朱实四,以句股之差⾃相

乘为中黄实,加差之,亦成弦实．

汉朝张苍、狄昌寿整理的《九章算术》第九卷为《句股》.其中解释到:短⾯⽈句，长⾯⽈股，相与结⾓⽈弦.句短其股，股短其

弦．

句股各⾃乘，并，⽽开⽅除之，即弦．勾股定理的证明：

勾股定理:直⾓三⾓形中的两直⾓边平⽅后的和等于斜边的平⽅．

注：勾——最短的边、股——较长的直⾓边、弦——斜边。

勾股定理实际上包含两⽅⾯的内容：

○

1如果⼀个三⾓形是直⾓三⾓形，那么两条直⾓边的平⽅之和等于斜边的平⽅；②如果⼀个三⾓形有两边的平⽅和等于第三边

的平⽅，那么它⼀定是直⾓三⾓形．勾股数：

满⾜a2+b2=c2

的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩⼤相同倍数后，仍为勾股数．常⽤勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、

15、17。弦图：

知识框架

G

F

E

H

C

A

B

c

b

a

1.会⽤勾股定理解决简单问题。

2.会⽤勾股定理的逆定理判定三⾓形是否为直⾓三⾓形

3.勾股定理与弦图的联系与应⽤

【例1】五根⼩⽊棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直⾓三⾓形，其中正确的是（）

7

15

24

25

207

15

2024

25

157

25

20

24

25

7

20

2415

(A)(B)(C)(D)

ABCD

【巩固】如果下列各组数是三⾓形的三边，那么不能组成直⾓三⾓形的⼀组数是()

A.7,24,25

B.3

12,412,512C.3,4,5D.4,712,81

2

【例2】已知，如图，⼀轮船以16海⾥/时的速度从港⼝A出发向东北⽅向航⾏，另⼀轮船以12海⾥/

时

例题精讲

重难点

的速度同时从港⼝A出发向东南⽅向航⾏，离开港⼝2⼩时后，则两船相距_________

A25海⾥

B30海⾥

C35海⾥

D40海⾥

北

A东

南

【