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初中数学几何模型（七）蝴蝶模型（蝴蝶定理）

1、任意四边形：

结论1：S

∵S1=12×BO×

∴S

=

∵S2=12×BO×

∴S2×S4

∴S1

结论2：S△ABDS△CBD

2、梯形：在梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD交于点O。

结论1：S1×

结论2：S△ABDS△CBD

结论3：S1

结论4：如果AD=a，BC=b，

那么S1∶S3∶

典型例题：

例1、如图所示，BD、CF将长方形ABCD分成4块，△CEF的面积是4平方厘米，△CEB的面积是6平方厘米。问：四边形AEFD的面积是多少平方厘米？

略解：连接AF，（构造蝴蝶模型）

∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，

∴S△

∴S△

∴S△AEF=S△CEB

设S△ABE=x，根据蝴蝶模型，可得：S△AEFS△ABE

∴S△ABE=9（cm2）；∴S矩形ABCD=（9+6）

∴S四边形AEFD=S矩形ABCD-S△ABE-S

答：四边形AEFD的面积是11平方厘米。

例2、如图，点E、F在矩形ABCD的边CD、AB上，连接AE、DF交于点G，连接BE、CF交于点H，如果S△ADG=11，S

略解：连接EF，（构造两组蝴蝶模型）

在梯形ADEF中，S△EFG=S

在梯形BCEF中，S△EFH=S

∵S四边形EGFH=S△EFG+

∴S四边形EGFH=11+23=34。

答：四边形EGFH的面积为34。

例3、如图，正方形ABCD的边长为1，BE=2EC，CF=DF，求△AEG的面积。

略解：方法一：连接EF。

∵BE=2EC，CF=DF，又∵正方形ABCD的边长为1，

∴CE=13，DF=12，∴S△DEF=12×13×

由蝴蝶模型得，S△AEDS△DEF=AGGF，∴AGGF=1

∴S△AGD=6S△GDF，

∴S△AGD=67S△ADF=67×12×

∵S△AEG=S△AED-

又∵S△AED=12S

∴S△AEG=12-314=

方法二：延长BC、AF交于点M。

易证，△ADF≌△MCF（ASA）

∴AD=MC=BC，

∵BE=2EC，∴EC?BC=1?3，∴EC?AD=EC?CM=1?3，∴EM?AD=4?3，

∵△EMG∽△DAG，∴EG?GD=4?3，∴EG?ED=4?7，

∴S△AEG?S△AED=4

∴S△AEG=47S△AED，∵S△AED

∴S△AEG=47×12

例4、平行四边形ABCD的对角线交于点O，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次为2、4、4、6。求：（1）△OCF的面积；（2）求△GCE的面积。

略解：（1）∵△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次为2、4、4、6，

∴S△BCD=S△CEF+S△OEF

∵平行四边形ABCD的对角线交于点O，

∴S△OCD=1

∵S△OCF=S△OCD-

（2）过点E作EM⊥OC于点M，过点F作FN⊥OC于点N。

∵S四边形OECF=S△CEF+

∴S四边形

∵S△OCF=4，∴S

∵△OCF和△OCE的底边都是OC，

∴S△OCE?S△OCF=EM?FN=2?4=1

易证，△EMG∽△FNG，∴EGFG=EMFN=

∴S△GEC?S△GFC=1?2，∴S△GEC=13S△CEF

例5、如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？

解：设△AOD的面积为x平方千米。

由蝴蝶模型，可得：S△BOCS△AOB=S

∵S△BOC为2平方千米，S△AOB为1平方千米，

∴21=3x，解，得：x=1.5。∴S

∴S四边形ABCD=1+2+3+1.5=7.5（平方千米）

∴S人工湖=S四边形ABCD-S陆地

答：人工湖的面积是0.58平方千米。

例6、如图，矩形ABCD的面积为48，E是AD的三等分点，AE=2DE，连接BE交AC于点M，连接CE交BD于点N，则四边形OMEN（阴影部分）的面积为_____________。

略解：连接OE。

∵AE=2DE，∴12S△CAE=S△CDE，

∴在四边形OCDE中，ONND=S△COES△CDE=12

∴在四边形OBAE中，OMMA=S△BOES△BAE=12

∵AE=2DE，∴S△OED=13S△ODA，

∵S△ODA=1

∴S△OED=13×14S矩形ABCD==13×1

∵S阴影=S△ONE+S△OME，∴S阴影=12S△OED

∴四边形OMEN（阴影部分）的面积为185