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初中数学几何模型(七)蝴蝶模型(蝴蝶定理)
1、任意四边形:
结论1:S
∵S1=12×BO×
∴S
=
∵S2=12×BO×
∴S2×S4
∴S1
结论2:S△ABDS△CBD
2、梯形:在梯形ABCD中,AD//BC,AC与BD交于点O。
结论1:S1×
结论2:S△ABDS△CBD
结论3:S1
结论4:如果AD=a,BC=b,
那么S1∶S3∶
典型例题:
例1、如图所示,BD、CF将长方形ABCD分成4块,△CEF的面积是4平方厘米,△CEB的面积是6平方厘米。问:四边形AEFD的面积是多少平方厘米?
略解:连接AF,(构造蝴蝶模型)
∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,
∴S△
∴S△
∴S△AEF=S△CEB
设S△ABE=x,根据蝴蝶模型,可得:S△AEFS△ABE
∴S△ABE=9(cm2);∴S矩形ABCD=(9+6)
∴S四边形AEFD=S矩形ABCD-S△ABE-S
答:四边形AEFD的面积是11平方厘米。
例2、如图,点E、F在矩形ABCD的边CD、AB上,连接AE、DF交于点G,连接BE、CF交于点H,如果S△ADG=11,S
略解:连接EF,(构造两组蝴蝶模型)
在梯形ADEF中,S△EFG=S
在梯形BCEF中,S△EFH=S
∵S四边形EGFH=S△EFG+
∴S四边形EGFH=11+23=34。
答:四边形EGFH的面积为34。
例3、如图,正方形ABCD的边长为1,BE=2EC,CF=DF,求△AEG的面积。
略解:方法一:连接EF。
∵BE=2EC,CF=DF,又∵正方形ABCD的边长为1,
∴CE=13,DF=12,∴S△DEF=12×13×
由蝴蝶模型得,S△AEDS△DEF=AGGF,∴AGGF=1
∴S△AGD=6S△GDF,
∴S△AGD=67S△ADF=67×12×
∵S△AEG=S△AED-
又∵S△AED=12S
∴S△AEG=12-314=
方法二:延长BC、AF交于点M。
易证,△ADF≌△MCF(ASA)
∴AD=MC=BC,
∵BE=2EC,∴EC?BC=1?3,∴EC?AD=EC?CM=1?3,∴EM?AD=4?3,
∵△EMG∽△DAG,∴EG?GD=4?3,∴EG?ED=4?7,
∴S△AEG?S△AED=4
∴S△AEG=47S△AED,∵S△AED
∴S△AEG=47×12
例4、平行四边形ABCD的对角线交于点O,△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次为2、4、4、6。求:(1)△OCF的面积;(2)求△GCE的面积。
略解:(1)∵△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积依次为2、4、4、6,
∴S△BCD=S△CEF+S△OEF
∵平行四边形ABCD的对角线交于点O,
∴S△OCD=1
∵S△OCF=S△OCD-
(2)过点E作EM⊥OC于点M,过点F作FN⊥OC于点N。
∵S四边形OECF=S△CEF+
∴S四边形
∵S△OCF=4,∴S
∵△OCF和△OCE的底边都是OC,
∴S△OCE?S△OCF=EM?FN=2?4=1
易证,△EMG∽△FNG,∴EGFG=EMFN=
∴S△GEC?S△GFC=1?2,∴S△GEC=13S△CEF
例5、如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四个部分,△AOB面积为1平方千米,△BOC面积为2平方千米,△COD的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?
解:设△AOD的面积为x平方千米。
由蝴蝶模型,可得:S△BOCS△AOB=S
∵S△BOC为2平方千米,S△AOB为1平方千米,
∴21=3x,解,得:x=1.5。∴S
∴S四边形ABCD=1+2+3+1.5=7.5(平方千米)
∴S人工湖=S四边形ABCD-S陆地
答:人工湖的面积是0.58平方千米。
例6、如图,矩形ABCD的面积为48,E是AD的三等分点,AE=2DE,连接BE交AC于点M,连接CE交BD于点N,则四边形OMEN(阴影部分)的面积为_____________。
略解:连接OE。
∵AE=2DE,∴12S△CAE=S△CDE,
∴在四边形OCDE中,ONND=S△COES△CDE=12
∴在四边形OBAE中,OMMA=S△BOES△BAE=12
∵AE=2DE,∴S△OED=13S△ODA,
∵S△ODA=1
∴S△OED=13×14S矩形ABCD==13×1
∵S阴影=S△ONE+S△OME,∴S阴影=12S△OED
∴四边形OMEN(阴影部分)的面积为185
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