2012-2019年丘成桐大学生数学竞赛决赛Applied Math and Computational Math(Individual).pdf

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INDIVIDUALTEST/ORALEXAM

S.-TYAUCOLLEGEMATHCONTESTS2012

AppliedandComputationalMathematics

1.Letf(x)deﬁnedon[0,1]beasmoothfunctionwithsuﬃciently

manyderivatives.xi=ih,whereh=1andi=0,1,···,Nare

uniformlydistributedpointsin[0,1].Whatisthehighestintegerk

suchthatthenumericalintegrationformula

(1)

N−2

IN=a(f(x)+f(x))+a(f(x)+f(x))+f(x)

00N11N−1i

i=2

isk-thorderaccurate,namely

(2)IN−f(x)dx≤Ch

foraconstantCindependentofh?Pleasedescribetheprocedureto

obtainthetwoconstantsa0anda1forthisk.

2.TheclassicalEuclideanAlgorithmtoﬁndthegreatestcommondi-

visorgcd(m,n)oftwopositiveintegersmnrequiresonlyO(logn)

arithmeticoperation.However,itusesdivisionwithareminder,which

isaratherslowoperation.Yourtaskistodesignandanalyzea

division-freealgorithm.

Moreprecisely,usingthatfornon-zerointegerskandlwehave

gcd(2k,2l)=2gcd(k,l),

gcd(2k+1,2l)=gcd(2k+1,l),

gcd(2k+1,l)=gcd(2k+1−l,l)

•designaneﬃcientalgorithmtocomputegcd(m,n)thatuses

onlysubtractionanddivisionby2(thelatterisveryfastasit

isequivalenttoashifto

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