第十章　§10.4　事件的相互独立性与条件概率、全概率公式-2025新高考一轮复习讲义.docx

§10.4事件的相互独立性与条件概率、全概率公式

课标要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．

知识梳理

1．相互独立事件

(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝________________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．

(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与__________，eq\x\to(A)与__________，eq\x\to(A)与eq\x\to(B)也都相互独立．

2．条件概率

(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称P(B|A)＝________为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．

(2)两个公式

①利用古典概型：P(B|A)＝________；

②概率的乘法公式：P(AB)＝________.

(3)条件概率的性质

条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质．设P(A)0，则

①P(Ω|A)＝________；

②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝____________________.

③设eq\x\to(B)和B互为对立事件，则P(eq\x\to(B)|A)＝________________.

3．全概率公式

一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B?Ω，有P(B)＝____________________.

常用结论

1．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．

2．*贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B?Ω，P(B)0，有P(Ai|B)＝eq\f(P?Ai?P?B|Ai?,P?B?)＝eq\f(P?Ai?P?B|Ai?,\i\su(k＝1,n,P)?Ak?P?B|Ak?)，i＝1，2，…，n.

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()

(2)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．()

(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A，“第二枚正面朝上”为事件B，则A，B相互独立．()

(4)若事件A1与A2是对立事件，则对任意的事件B?Ω，都有P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)．()

2．(必修第二册P253T4改编)甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，则谜题没被破解出的概率为()

A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,6)D．1

3．(选择性必修第三册P46例1改编)在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是()

A.eq\f(1,28)B.eq\f(1,10)C.eq\f(1,9)D.eq\f(2,7)

4．智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A食堂用餐的概率为________.

题型一相互独立事件的概率

命题点1事件相互独立性的判断

例1(多选)(2024·滁州模拟)已知A，B为两个随机事件，且P(A)＝0.4，P(B)＝0.6，则()

A．P(A＋B)1

B．若A，B为互斥事件，则P(AB)＝0

C．若P(AB)＝0.24，则A，B为相互独立事件

D．若A，B为相互独立事件，则P(eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(AB)

命题点2相互独立事件的概率

例2(多选)(2023·新高考全国Ⅱ)在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为α(0α1)，收到0的概率为1－α；发送1时，收到0的概率为β(0β1)，收到1的概率为1－β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1,0,1