第十章　§10.5　离散型随机变量及其分布列、数字特征-2025新高考一轮复习讲义.docx

§10.5离散型随机变量及其分布列、数字特征

课标要求1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念.2.理解并会求离散型随机变量的数字特征．

知识梳理

1．离散型随机变量

一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有________的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．

2．离散型随机变量的分布列

一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．

3．离散型随机变量分布列的性质

(1)pi________0，i＝1,2，…，n；

(2)p1＋p2＋…＋pn＝________.

4．离散型随机变量的均值(数学期望)与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

X

x1

x2

…

xn

P

p1

p2

…

pn

(1)均值(数学期望)

称E(X)＝________________________＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了随机变量取值的____________．

(2)方差

称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝_________________________为随机变量X的方差，并称eq\r(D?X?)为随机变量X的________，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的____________．

5．均值(数学期望)与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝____________.

(2)D(aX＋b)＝____________(a，b为常数)．

常用结论

1．E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．

2．E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．

3．D(X)＝E(X2)－(E(X))2.

4．若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.()

(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()

(3)随机试验的结果与随机变量是对应关系，即每一个试验结果都有唯一的随机变量的值与之对应．()

(4)方差或标准差越小，则随机变量的偏离程度越小．()

2．(选择性必修第三册P66T1改编)已知X的分布列为

X

－1

0

1

P

eq\f(1,2)

eq\f(1,3)

eq\f(1,6)

设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为()

A.eq\f(7,3)B．4C．－1D．1

3．(2023·辽阳模拟)已知随机变量X满足P(X＝1)＝P(X＝2)＝0.4，P(X＝4)＝0.2，则E(X)＝________，D(X)＝________.

4．(选择性必修第三册P67T3改编)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为

X

0

1

2

3

P

0.4

0.3

0.2

0.1

Y

0

1

2

P

0.3

0.5

0.2

若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________．

题型一分布列的性质

例1(1)(多选)已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数)：

X

0

1

2

3

4

P

0.1

0.2

0.4

0.2

a

则下列计算结果正确的是()

A．a＝0.1 B．P(X≤2)＝0.7

C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.3

(2)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝eq\f(a,n?n＋1?)(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)X\f(5,2)))等于()

A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)

思维升华离散型随机变量分布列的性质的应用

(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值．

(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率．

(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．

跟踪训练1(1)若随机变量X的分布列为

X

－1

0

1

P

a

eq\f(1,3)

c

则P(|X|＝1)等于()

A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,6)

(2)设随机变量X满足P(X＝i)＝eq\f(k,2i)(i＝1,2,3)，则k＝________；P(X≥2)＝____