选修4-2逆变换与逆矩阵.docVIP

高中数学

选修4-2第三讲一逆变换与逆矩阵

编稿老师

宋涛

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审核

逆变换与逆矩阵

一、考点突破

知识点

课标要求

题型

说明

逆变换

与逆矩阵

1.理解变换、矩阵的逆变换和逆矩阵；

2.掌握逆矩阵的两个性质。

选择题

填空题

掌握逆矩阵的两个性质。

二、重难点提示

重点：逆变换和逆矩阵的概念。

难点：逆矩阵的两个性质。

1.逆变换和逆矩阵

1.逆变换：设是一个线性变换，如果存在一个线性变换，使得

＝＝，〔是恒等变换〕那么称变换可逆，其中是的逆变换。

2.逆矩阵：设Ａ是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵Ｂ，使得BA=AB=E2,那么称矩阵Ａ可逆，其中Ｂ为Ａ的逆矩阵。

符号、记法：，读作Ａ的逆。

注意：有些二阶矩阵是不可逆的。

2.逆矩阵的性质

1.二阶矩阵A是可逆的，那么A的逆矩阵是唯一的。

2.设二阶矩阵A、B均可逆，那么也可逆，且

【随堂练习】

对于伸缩变换，对应的变换矩阵A=，是否存在变换矩阵B，

使得连续进行两次变换〔先TA后TB〕的结果与恒等变换的结果相同？

思路分析：利用伸缩变换计算公式解决。

答案：由题意知，进行第二次变换，对应的变换矩阵，，

从而可知，，

技巧点拨：此题主要考查利用伸缩变换的思想求逆矩阵。

例题1用几何变换的观点判断以下矩阵是否存在逆矩阵,假设存在,请把它求出来;假设不存在,请说明理由.

思路分析：根据题设条件找出对应的变换矩阵，从而判断逆矩阵是否存在。

答案：(1)矩阵A为反射变换矩阵,它对应的几何变换为以直线y=x为反射轴的反射变换,因此,它存在逆矩阵,即为其本身,故

(2)矩阵B为投影变换矩阵,它对应的几何变换为将平面上所有的点沿垂直于x轴方向投影到直线y=x上,这个变换把多个向量变为同一个向量,因此,它不存在逆变换,即矩阵B不存在逆矩阵.

技巧点拨：求逆矩阵是否存在的关键是找出相应的变换，通过几何变换来确定并找出逆矩阵。

利用几何变换的观点求出的逆矩阵。

思路分析：找出它放入变换矩阵，判断它的存在性。

答案：矩阵A为伸缩变换矩阵,它对应的几何变换为平面内点的纵坐标保持不变,横坐标沿x轴方向压缩为原来的变换,因此,它存在逆变换:将平面内的纵坐标保持不变,横坐标沿x轴方向拉伸为其2倍,所对应的变换矩阵为

技巧点拨：注意伸缩变换矩阵中的横纵坐标的变换。

例题2二阶矩阵可逆,证明：矩阵也可逆,且=

思路分析：严格按照教材给出的定义和性质〔唯一性〕。

答案：因为矩阵A可逆，所以存在矩阵B，使得AB=BA=E，并且，B=

所以，，所以，也可逆，并且它的逆阵为A，即=

技巧点拨：根据矩阵可逆的定义，将代入定义中。

【总分值训练】

试从几何变换的角度求AB的逆矩阵，其中.

思路分析：运用伸缩变换以及逆矩阵的性质。

答案：矩阵A对应的是伸缩变换，它将平面内的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，因此它的逆矩阵是；

同理，矩阵B对应的也是伸缩变换，它将平面内的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的4倍，因此它的逆矩阵是；

所以.

技巧点拨：对求逆矩阵问题，通过找到相应的变换再结合逆矩阵的性质。

〔答题时间：40分钟〕

1.矩阵的逆矩阵的几何意义是()

A.横坐标不变,纵坐标变为原来的倍

B.纵坐标不变,横坐标变为原来的倍

C.横坐标,纵坐标均变为原来的倍

D.以上都不对

2.设A,B可逆，以下式子不正确的选项是〔〕

A.B.

C.D.

3.矩阵的逆矩阵是()

A.B.C.D.

4.关于x轴的反射变换对应矩阵的逆矩阵是________

5.以下矩阵中，逆矩阵是其本身的为〔〕

A、B、C、D、

6.以下变换不存在逆变换的是〔〕

A.沿x轴方向，向y轴作投影变换。B.变换。

C.横坐标不变，纵坐标增加横坐标的两倍的切变变换。D.以y轴为反射变换

7.从几何上考虑乘积矩阵是否有逆矩阵.如果存在,试给出其逆矩阵并验证.

8.给定矩阵,向量和,且,试证明:

(1)假设矩阵是可逆矩阵,那么必有;

(2)假设,那么矩阵必是不可逆矩阵.并说明这一结论的几何意义.

1.B解析：对应的变换表示横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，那么它的逆矩阵对应的变换表示纵坐标不变,横坐标变为原来的倍。

2.A解析：根据性质。

3.A解析：=。

4.，解析：根据反射变换即可得到。

5.B解析：。

6.A解析：这个变换把多个向量变为同一个向量,因此,它不存在逆变换

7.解:乘积矩阵表示