选修2-2-第二章-推理与证明知识方法总结.docVIP

推理与证明推理证明合情推理

推理与证明

推理

证明

合情推理

演绎推理

归纳

类比

综合法

分析法

反证法

直接证明

间接证明

数学归纳法

一、合情推理与演绎推理

合情推理〔合情推理对于数学发现的作用，为复数铺垫〕

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

归纳推理：局部到整体，特殊到一般

类比推理：特殊到特殊

关于类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作比照：〔亮点〕

(一)空间问题与平面问题

多面体多边形；面边；体积面积；

二面角平面角；面积线段长；

〔二〕四那么运算

加法乘法；减法除法；乘法乘方；除法开方；

平面几何与立体几何：

平面几何

立体几何

角及角平分线

二面角及角平分面

线段的垂直平分线

线段的垂直平分面

三角形的三条边

四面体的四个面

平行四边形对角线相交一点，并且被平分

平行六面体的对角线相交于一点，并且被平分

③圆与球的性质的类比：

圆

球

圆心与弦〔非直径〕中心的连线垂直于弦

球心与截面圆〔不经过球心〕圆心连线垂直于截面

与圆心距离相等的两条弦长相等

与球心距相等的两个截面圆的面积相等

圆的周长C＝?d〔d为直径〕

球的外表积S＝?d2〔d为球直径〕

圆的面积S＝?r2〔r为半径〕

球的体积V＝eq\f(4,3)?r3〔r为球半径〕〔这一点不是很好的类比〕

直角三角形与直角四面体的类比：

直角三角形

直角四面体

〔在四面体中，假设有一顶点发出的三条棱两两互相垂直，那么改四面体成为直角四面体〕

如图，Rt△CAB中，∠C＝90?，

O

O

A

B

c

a

b

h

H

如图，在四面体OABC中，OA⊥OB，OB⊥OC，OC⊥OA，O为直角顶点：

O

O

A

B

C

H

a

b

c

AB2＝OA2＋OB2〔c2＝a2＋b2〕

S2△ABC＝S2△OAB＋S2△OBC＋S2△OCA

cos2A＋cos2B＝1

cos2?＋cos2?＋cos2?＝1〔?、?、?是侧面与底面所成的角〕

eq\f(1,OH2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)

eq\f(1,OH2)＝eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)

外接圆半径R＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2)

外接球半径R＝eq\f(1,2)eq\r(a2＋b2＋c2)

内切圆半径r＝eq\f(a＋b－c,2)＝eq\f(ab,a＋b＋c)

内切球半径r＝eq\f(S△OAB＋S△OBC＋S△OCA＋S△ABC,a＋b＋c)

⑤等差数列与等比数列的类比：

?等差数列{an}〔公差为d〕

等比数列{bn}〔公比为q〕

通项：an＝a1＋(n－1)d

通项：bn＝b1·qn－1

am－an＝(m－n)d

eq\f(bm,bn)＝qm－n

假设a1＝0，s，t是互不相等的正整数，那么有

(s－1)at＝(t－1)as

假设b1＝0，s，t是互不相等的正整数，那么有

bts－1＝bst－1

假设m＋n＝p＋r，其中m、n、p、r∈N*，

那么am＋an＝ap＋ar

假设m＋n＝p＋r，其中m、n、p、r∈N*，

那么bm·bn＝bp·br

假设m＋n＝2p，其中m、n、p∈N*，am＋an＝2ap

假设m＋n＝2p，其中m、n、p∈N*，bm·bn＝bp2

Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等差数列

Sn，S2n－Sn，S3n－S2n构成等比数列

前n项和：Sn＝a1＋a2＋…＋an＝eq\f(n(a1＋an),2)

前n项积：Tn＝b1·b2·…·bn＝eq\r((b1·bn)n)

假设ak＝0，2k＞n＋1，k，n∈N*那么有

a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2k－n－1

假设bk＝1，2k＞n＋1，k，n∈N*那么有

b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b2k－n－1

假设cn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)，那么数列{cn}也是等差数列

假设dn＝eq\r(n,b1·b2·…·bn)，那么数列{dn}也是等比数列

假设cn＝eq\f(a1＋2a2＋3a3＋…＋nan,1＋2＋3＋…＋n)，那么数列{cn}也是等差数列.

假设dn＝(b1·eqb\o(\s\up1(2),\s\do1(2))·eqb\o(\s\up1(3),\s\do1(3))·…·eqb\o(\s\up1(n),\s\do1(n)))eq\s\up6(\f(1,1＋2＋3＋…＋n))，那么数列{dn}也是等比数列.

2.演绎推理

一般到特殊根据一般性的真命题〔或逻辑规那么〕，推出某个特殊性命