北师大版数学九上期末重难点培优训练专题06 因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系(解析版).doc

专题06因式分解法解一元二次方程及根与系数的关系

考点一因式分解法解一元二次方程考点二十字相乘法解一元二次方程

考点三换元法解一元二次方程考点四已知一元二次方程的解求另一个解

考点五根据一元二次方程的根与系数的关系求参数与代数式的值

考点六一元二次方程根的判别式与根与系数的综合问题

考点一因式分解法解一元二次方程

例题：（2022·四川成都·九年级期末）解下列一元二次方程．

(1)x2﹣4x＝5；(2)2（x+1）2＝x（x+1）．

【答案】(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解；

（2）通过移项，分解因式，化为一元一次方程，即可求解．

(1)

解：x2﹣4x＝5，

移项得：x2﹣4x-5=0，

分解因式得：（x-5）（x+1）=0，

∴x-5=0或x+1=0，

解得：；

(2)

解：2（x+1）2＝x（x+1），

移项得：2（x+1）2-x（x+1）=0，

分解因式得：（x+1）（2x+2-x）=0，

∴x+1=0或2x+2-x=0，

解得：．

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程，掌握因式分解法解方程，是解题的关键．

【变式训练】

1.（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：

(1)；

(2)（

【答案】(1)或；

(2)

【解析】

【分析】

（1）运用公式法解一元二次方程即可；

（2）运用公式法解一元二次方程即可；

(1)

∵

∴

解得：或；

(2)

（2x+1）2-3（2x+1）=0，

（2x+1）（2x+1-3）=0，

2x+1=0或2x+1-3=0，

解得；

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用公式法解一元二次方程是解答本题的关键．

2.（2022·黑龙江·哈尔滨市第六十九中学校八年级期中）解下列方程：

(1)

(2)

【答案】(1)，

(2)，

【解析】

【分析】

（1）利用因式分解法解方程；

（2）利用因式分解法解方程．

(1)

解：

∴，

(2)

∴，

【点睛】

本题考查了解一元二次方程?因式分解法，因式分解是解本题的关键．

考点二十字相乘法解一元二次方程

例题：（2022·江苏·苏州草桥中学八年级期中）解方程：

(1)．(2)

【答案】(1)或

(2)

【解析】

【分析】

（1）运用十字相乘法解一元二次方程．

（2）运用十字相乘法解一元二次方程．

(1)

∵

∴，

解得：或．

(2)

（x-2）（x-5）=0，

x-2=0或x-5=0，

解得x1=2，x2=5．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，掌握运用十字相乘法解一元二次方程是解答本题的关键．

【变式训练】

1.（2022·全国·九年级）解一元二次方程：．

【答案】，

【解析】

【分析】

利用十字相乘法因式分解法求解即可．

，

∴，

∴或，

∴，．

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

2．（2021·江苏·扬州市江都区实验初级中学一模）解方程：；

【答案】，

【解析】

【分析】

利用十字相乘法因式分解法求解即可；

【详解】

，

或，

所以，；

【点睛】

本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．

3．（2022·全国·九年级）用因式分解法解方程：x2-10x+16=0

【答案】x1=2，x2=8

【解析】

【分析】

利用因式分解方法求解即可．

【详解】

解：x2-10x+16=0，

因式分解得，(x-2)(x-8)=0，

由此得：x-2=0，x-8=0，

解得：x1=2，x2=8．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，解题的关键是根据题目要求选取相应的方法求解．

考点三换元法解一元二次方程

例题：（2022·江苏南京·二模）若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=?5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（???????）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【解析】

【分析】

设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，得到t1=3，t2=-5，于是得到结论．

【详解】

解：设t=y+1，

则原方程可化为at2+bt+c=0，

∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，

∴t1=3，t2=-5，

∴