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高中数学

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《古典概型的应用》教学设计二

教学设计

一、复习回顾，导入新课

问题1：求古典概型问题的一般思路是什么？

（1）明确试验条件及要观察的结果，用适当的符号（字母、数字、数组等）表示试验的可能结果（借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有的可能结果）；

（2）根据实际情境判断样本点的等可能性；

（3）计算样本点总数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.

问题2：对于同一问题，样本空间是否一定是确定的？

不一定，比如，试验：抛掷一枚均匀的硬币两次，求第二次出现正面的概率.

思路1：按照顺序依次抛掷硬币两次，样本空间，共有4个样本点.由于是抛掷一枚均匀的硬币两次，因此可以认为这4个样本点出现的可能性相等，用A表示“第二次出现正面”，则，包含2个样本点，所以.

思路2：由于是计算“第二次出现正面”的概率，只考虑第二抛掷硬币的情况.因此第二次硬币出现的情况只有2种，样本空间.由于是抛掷一枚均匀的硬币，可以认为这2个样本点出现的可能性相等，用A表示“第二次出现正面”，则，包含1个样本点，所以.

师：为什么同一个问题可以构造不同的概率模型？这节课我们进一步来研究古典概型的应用.

二、实例分析，应用模型

例1、（教材例3）口袋里共有4个球，其中有2个是白球，2个是黑球，这4个球除颜色外完全相同4个人按顺序依次从中摸出一个球（不放回），试计算第二个人摸到白球的概率.

师：结合上面问题2的分析方法，你能有几种方法解决这个问题？

方法一：考察试验：4个人按顺序依次从中摸出一个球，记录摸球的所有可能结果.

把2个白球编上序号1，2，记摸到1，2号白球的结果分别为个黑球也编上序号1，2，记摸到1，2号黑球的结果分别为.用树状图列出所有可能结果，如图.该试验的样本空间包含24个样本点.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此可以认为这24个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率用事件A表示“第二个人摸到白球”，则事件A包含的样本点个数为12，所以.

方法二：因为是计算“第二个人摸到白球”的概率，所以可以把后两个人摸球的情况去掉，只考虑前两个人摸球的情况.

前两个人按顺序依次从袋中摸出一个球的所有结果用树状图表示，如图.

从上面的树状图可以看出，共有12个样本点.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此可以认为这12个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率.

用事件A表示“第二个人摸到白球”，则事件A包含6个样本点，因此，即第二个人摸到白球的概率为.

方法三：进一步简化，继续观察树状图，把第一个人摸球的情况也去掉，只考虑第二个人摸球的情况.

第二个人摸球的情况：，共有4个样本点.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此可以认为这4个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率用事件A表示“第二个人摸到白球”，则事件A包含2个样本点，因此.即第二个人摸到白球的概率为.

方法四：继续观察方法一中的树状图，以方法一中的第一个图为例，因为口袋内的4球除颜色外完全相同，因此可以对2个白球不加区别，对2个黑球也不加区别，由此可以得到：

同理，另外3个图形也可进行这样的处理.最后会得到如下两个树状图：

从树状图可以看出，共有6个样本点.由于口袋内的4个球除颜色外完全相同，因此可以认为这6个样本点出现的可能性是相等的，从而用古典概型来计算概率.用事件A表示“第二个人摸到白球”，则事件A包含3个样本点，因此.即第二个人摸到白球的概率为.

师：你能总结出利用古典概型解决实际问题的三个环节吗？

（1）判断模型；（2）列举计数；（3）计算概率.

这个问题表面上是一个摸球问题，实际上它也是许多实际问题的一个模型.例如抽签问题、排序占位问题.由这个问题的解答过程可以看出：不论第几次摸球，摸到白球的概率都是，这说明，摸球时，中奖的可能性大小与顺序无关.

设计意图：结合树状图，启发学生从不同的角度思考间题，让学生体会不同方法的异同和优劣，体会为什么同一个问题可以构建不同的概率模型加以解决，在教学中根据学生的实际情况决定是否做进一步的推广.

拓展：如果口袋中装有m个白球和n个黑球，这个球除颜色外完全相同，个人按顺序依次从中摸出一个球，则第个人摸到白球的概率是多少？

答案：只考虑第k个人摸球的情况，个球中的每个球均有可能被第k个人摸到，且可能性相等，其中有m种情形是白球，因此第k个人摸到白球的概率是，与摸球人的摸球顺序无关.

巩固练习：

教材第199页练习第1，2题.

思考交流：

在一个盒子内放有10个大小相同的小球，其中有7个红球、2个绿球、1个黄球，若我们把“