北师大版数学九上期末重难点培优训练专题10 相似三角形的基本六大模型(解析版).doc

专题10相似三角形的基本六大模型

考点一（双）A字型相似考点二（双）8字型相似

考点三母子型相似考点四旋转相似

考点五K字型相似考点六三角形内接矩形

考点一（双）A字型相似

1．（2021·山东临沂·三模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若AE＝2，EC＝3，则△ADE与△ABC的面积之比为（????）

A．4：25 B．2：3 C．4：9 D．2：5

【答案】A

【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．

【详解】解：∵AE=2，EC=3，

∴AC=AE+EC=5，

∵DEBC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

故选：A．

【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

2．（2022·全国·九年级专题练习）已知：D、E是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，AD＝3，AC＝6，AE＝4，求证：△ABC∽△AED．

【答案】见解析

【分析】根据已知线段长度求出，再根据∠A=∠A推出相似即可．

【详解】证明：在△ABC和△AED中，

∵，，

∴，

又∵∠A＝∠A，

∴△ABC∽△AED．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理的应用，注意：有两边的对应成比例，且夹角相等的两三角形相似．

3．（2021·安徽·安庆市石化第一中学九年级期中）图，，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．

【答案】

【分析】根据平行线分线段成比例定理，由，可证△CGH∽△CAB，由性质得出，由，可证△BGH∽△BDC，由性质得出，将两个式子相加，即可求出GH的长．

【详解】解：∵，

∴∠A=∠HGC，∠ABC=∠GHC，

∴△CGH∽△CAB，

∴，

∵，

∴∠D=∠HGB，∠DCB=∠GHB，

△BGH∽△BDC，

∴，

∴，

∵AB=2，CD=3，

∴，

解得：GH=．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．

4．（2021·上海市金山初级中学九年级期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DEBC，．

（1）求证：DFBE；

（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6．求证△ADE∽△AEB．

【答案】（1）见详解；（2）见详解

【分析】（1）由题意易得，则有，进而问题可求证；

（2）由（1）及题意可知，然后可得，进而可证，最后问题可求证．

【详解】解：（1）∵DEBC，

∴，

∵，

∴，

∴DFBE；

（2）∵AF＝2，EF＝4，

∴由（1）可知，，AE=6，

∵AB＝6，

∴，

∴，

∴，

∵∠A=∠A，

∴△ADE∽△AEB．

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．

考点二（双）8字型相似

1．（2022·福建·福州华伦中学八年级期中）如图，在平行四边形中，为上一点，连接、，且、交于点，：：，则：（???）

A．： B．： C．： D．：

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质得到DCAB，DC=AB，得到△DFE△ABF，根据相似三角形的性质计算即可．

【详解】∵四边形是平行四边形，

∴，，

∵E为上一点，

∴

∴，

∴，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查的是相似三角形的性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．

2．（2022·广东河源·九年级期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF的面积为2，则△ABC的面积为()

A．8 B．10 C．12 D．14

【答案】C

【分析】先利用平行四边形的性质得，AD=BC，由可判断△AEF∽△CBF，根据相似三角形的性质得，然后根据三角形面积公式得，，则．

【详解】∵平行四边形ABCD

∴，AD=BC

∵E为边AD的中点

∴BC=2AE

∵

∴∠EAC=∠BCA

又∵∠EFA=∠BFC

∴△AEF∽△CBF

如图，过点F作FH⊥AD于点H，FG⊥BC于点G，

则，

∴，

∵△AEF的面积为2

∴

故选C．

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于同步基础题．

3．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC，，DE＝1，BC的长度是_________．

【答案】

【分析】根据DE∥BC，可得，从而得到,即可求解．

【详解】解：∵DE∥BC，

，

∴，

∴，

∵，DE＝1，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查