2025年新高考数学一轮复习第2章第08讲函数模型及其应用(五大题型)(讲义)(学生版+解析).docxVIP

第08讲函数模型及其应用

目录TOC\o1-2\h\z\u

01考情透视·目标导航 2

02知识导图·思维引航 3

03考点突破·题型探究 4

知识点1：几种常见的函数模型 4

知识点2：解函数应用问题的步骤 4

题型一：二次函数模型，分段函数模型 5

题型二：对勾函数模型 7

题型三：指数型函数、对数型函数、幂函数模型 8

题型四：已知函数模型的实际问题 10

题型五：构造函数模型的实际问题 11

04真题练习·命题洞见 13

05课本典例·高考素材 15

06易错分析·答题模板 17

易错点：函数模型应用错误 17

答题模板：数学建模 17

考点要求

考题统计

考情分析

（1）利用函数模型解决问题

2023年I卷第10题，5分

2020年II卷第3题，5分

2020年I卷第6题，5分

高考对函数模型的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．2025年高考可能结合函数与生活应用进行考察，对学生建模能力和数学应用能力综合考察．

复习目标：

（1）了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．

（2）理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．

（3）会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．

知识点1：几种常见的函数模型

函数模型

函数解析式

一次函数模型

，为常数且

反比例函数模型

，为常数且

二次函数模型

，，为常数且

指数函数模型

，，为常数，，，

对数函数模型

，，为常数，，，

幂函数模型

，为常数，

【诊断自测】近年来，天然气表观消费量从2006年的不到m3激增到2021年的m3.从2000年开始统计，记k表示从2000年开始的第几年，，.经计算机拟合后发现，天然气表观消费量随时间的变化情况符合，其中是从2000年后第k年天然气消费量，是2000年的天然气消费量，是过去20年的年复合增长率.已知2009年的天然气消费量为m3，2018年的天然气消费量为m3，根据拟合的模型，可以预测2024年的天然气消费量约为（????）

（参考数据：，

A．m3 B．m3

C．m3 D．m3

知识点2：解函数应用问题的步骤

（1）审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建立相应的数学模型；

（3）解模：求解数学模型，得出结论；

（4）还原：将数学问题还原为实际问题．

【诊断自测】长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数＝×100）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：

（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间；

（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；

（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．

记x为调度前某水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：

①；②；③；④．

则满足此次联合调度要求的函数解析式的个数为（????）．

A．1 B．2 C．3 D．4

题型一：二次函数模型，分段函数模型

【典例1-1】我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一．制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为（????）

A．26米 B．28米 C．31米 D．33米

【典例1-2】（2024·云南·二模）下表是某批发市场的一种益智玩具的销售价格：

一次购买件数

5-10件

11-50件

51-100件

101-300件

300件以上

每件价格

37元

32元

30元

27元

25元

张师傅准备用2900元到该批发市场购买这种玩具，赠送给一所幼儿园，张师傅最多可买这种玩具（????）

A．116件 B．110件 C．107件 D．106件

【方法技巧】

1、分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．

2、构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏．

【变式1-1】（2024·安徽淮南·一模）我国在2020年9月22日在联合国大会提出，二氧化碳排放力争于2030年前实现碳达峰，争取在2060年前实现碳中和．为了响应党和国家的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关：把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，