2025年新高考数学一轮复习第3章重难点突破07函数零点问题的综合应用(十大题型)(学生版+解析).docxVIP

重难点突破07函数零点问题的综合应用

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳总结 2

题型一：判断或讨论函数零点的个数 2

题型二：根据零点个数求参数范围 3

题型三：证明函数零点的个数 4

题型四：证明函数零点的性质 5

题型五：最值函数的零点问题 7

题型六：同构法妙解零点问题 8

题型七：零点差问题 10

题型八：分离参数转化为两图像交点解决零点问题 11

题型九：零点问题之取点技巧 13

题型十：零点与切线问题的综合应用 14

03过关测试 15

1、函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参数的值或取值范围.

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与轴(或直线)在某区间上的交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数.

2、函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

3、求函数的零点个数时，常用的方法有：一、直接根据零点存在定理判断；二、将整理变形成的形式，通过两函数图象的交点确定函数的零点个数；三、结合导数，求函数的单调性，从而判断函数零点个数.

4、利用导数研究零点问题：

（1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图像；

（2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题；

（3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.

题型一：判断或讨论函数零点的个数

【典例1-1】（2024·河南·三模）函数的图象在处的切线为.

(1)求的值；

(2)求在上零点的个数.

【典例1-2】（2024·河南·模拟预测）已知函数．

(1)求的极大值；

(2)若，求在区间上的零点个数．

【变式1-1】（2024·湖南长沙·三模）已知函数.

(1)求的最小值；

(2)设函数，讨论零点的个数.

【变式1-2】已知，是实数，1和是函数的两个极值点

(1)求，的值.

(2)设函数的导函数，求的极值点.

(3)设其中求函数的零点个数.

题型二：根据零点个数求参数范围

【典例2-1】（2024·广东茂名·一模）设函数，.

(1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围；

(2)若在上存在零点，求实数的取值范围.

【典例2-2】（2024·湖北·模拟预测）已知函数，，其中a为整数且.记为的极值点，若存在两个不同的零点，，

(1)求a的最小值；

(2)求证：；

【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，曲线在点处的切线平行于直线．

(1)当时，求b的值；

(2)当时，若在区间各内有一个零点，求a的取值范围．

【变式2-2】（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数.

(1)当时，求曲线在处的切线方程；

(2)若函数有2个零点，求的取值范围.

题型三：证明函数零点的个数

【典例3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数，且曲线在点处的切线方程为．

(1)求实数，的值；

(2)证明：函数有两个零点．

【典例3-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)求证：在上有唯一的极大值点；

(2)若恒成立，求a的值；

(3)求证：函数有两个零点．

【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．

(1)求函数的单调区间；

(2)若函数的两个极值点分别为，证明：；

(3)设，求证：当时，有且仅有2个不同的零点．

（参考数据：）

【变式3-2】（2024·上海闵行·二模）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）.

(1)求函数在区间上的值域；

(2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点；

题型四：证明函数零点的性质

【典例4-1】（2024·全国·一模）已知

(1)若，求实数的取值范围；

(2)设是的两个零点（），求证：①；②.

【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知函数，且有两个相异零点．

(1)求实数a的取