湘教版九年级数学下册知识点总结 .pdfVIP

知识点总结

二次函数知识点

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口

方向向上，a0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大

开口就越小,IaI越小开口就越大.）则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）

顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）]

交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A（x₁，0）和B

（x₂，0）的抛物线]

注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函

数的图像是一条抛物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，

抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-

b/2a=0时，P在y轴上；当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越

大，则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；

当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于（0，c）

6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x=-b±√b^2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整

个式子除以2a）

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数（以下称函数）y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），即

ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点

的横坐标即为方程的根。

1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各

式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对

称轴如下表：

当h0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个

单位得到，

当h0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h0,k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移

动k个单位，就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h0,k0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移

动|k|个单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个

单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h0,k0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个

单位可得到y=a(x-h)^2+k的图象；

因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过配方，将一般式

化为y=a(x-h)^2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的

大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方便．

2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a0时，开口向上，当a0

时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-

b^2]/4a)．

3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，若a0，当x≤-b/2a时，y随x的

增大而减小；当x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a0，当x≤-

b/2a时，y随x的增大而增大；当x≥-b/2a时，y随x