2024年人教版八年级上册数学第十四章整式的乘法与因式分解母题变式《整式的乘法与因式分解》教材难题生长题.pptx

母题变式《整式的乘法与因式分解》教材难题生长题(人教版)第十四章整式的乘法与因式分解

教材难题【例1】(运算能力、推理能力、应用意识)已知2m＝a，32n＝b，m，n为正整数，求23m＋10n．解题思路：首先变形出25n＝b，进而利用积的乘方以及同底数幂的运算法则求出即可．解：∵2m＝a，32n＝b，∴25n＝b，∴23m＋10n＝23m×210n＝(2m)3×(25n)2＝a3b2．(人教8上P106拓广探索)

1．已知ax＝2，ay＝3，则a2x＋y的值为．?2．已知xn＝3，yn＝2，则(xy2)2n的值为．?3．已知4x＝8，4y＝8，求x＋y的值．144难题生长120.550.500.50?

4．已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．解：∵2x＋5y－3＝0，∴2x＋5y＝3，∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8．0.50

5．乐于思考的小宏在学习《幂的运算》时发现：若am＝an(a＞0，且a≠1，m，n都是正整数)，则m＝n，例如：若5m＝54，则m＝4．小宏将这个发现与老师分享，并得到老师确认是正确的，请用小宏发现的这个正确结论解决下面的问题：(1)如果2×4x×32x＝812，求x的值；(2)如果5x＋2＋5x＋1＝750，求x的值．0.45

解：(1)∵2×4x×32x＝812，∴2×22x×25x＝236，即21＋7x＝236，∴1＋7x＝36，解得x＝5．(2)∵5x＋2＋5x＋1＝750，∴5×5x＋1＋5x＋1＝6×125，6×5x＋1＝6×53，即5x＋1＝53，∴x＋1＝3，解得x＝2．

教材难题【例2】(抽象能力、运算能力、应用意识)求证：当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n＋1)2－(2n－1)2是8的倍数．解题思路：把2n＋1和2n－1看成一个整体，利用平方差公式进行因式分解，可得出结论．(人教8上P125拓广探索)证明：∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝［(2n＋1)＋(2n－1)］［(2n＋1)－(2n－1)］＝4n×2＝8n，∴当n是整数时，两个连续奇数的平方差(2n＋1)2－(2n－1)2是8的倍数．

难题生长6．求证：257－512能被120整除．证明：∵257－512＝514－512＝512×(52－1)＝24×512＝120×511，∴257－512能被120整除．0.50

7．求证：不论n取任何正整数，n(n＋7)2－n(n－5)2的值必是48的倍数．证明：∵n(n＋7)2－n(n－5)2＝n(n2＋14n＋49)－n(n2－10n＋25)＝n［(n2＋14n＋49)－(n2－10n＋25)］＝n(n2＋14n＋49－n2＋10n－25)＝n(24n＋24)＝24n(n＋1)，∴不论n取任何正整数，n与(n＋1)中必定有一个偶数，∴24n(n＋1)必是48的倍数，∴不论n取任何正整数，n(n＋7)2－n(n－5)2的值必是48的倍数．0.45

8．(2023衡水模拟)【发现】两个连续奇数的平方差是8的倍数．【应用】(1)232－212的结果是8的几倍？【证明】(2)证明：两个连续奇数2n＋1与2n－1(n为整数)的平方差是8的倍数，并且等于这两个数的和的2倍；【延伸】(3)两个连续偶数2m＋2与2m(m为整数)的平方差是8的倍数吗？如果是，说明理由；如果不是，将上述平方差的结果加上正整数k，使得最后的结果为8的倍数，求k的最小值．0.40

(1)解：∵232－212＝(23＋21)(23－21)＝44×2＝88＝8×11，∴232－212的结果是8的11倍．(2)证明：∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n×2＝8n，2n＋1＋2n－1＝4n，∴8n＝2×4n，∴两个连续奇数2n＋1与2n－1的平方差是8的倍数，并且等于这两个数的和的2倍．

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