第十章　§10.6　二项分布、超几何分布与正态分布-2025新高考一轮复习讲义.docx

§10.6二项分布、超几何分布与正态分布

课标要求1.理解二项分布、超几何分布的概念，能解决一些简单的实际问题.2.借助正态曲线了解正态分布的概念，并进行简单应用．

知识梳理

1．二项分布

(1)伯努利试验

只包含________可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为____________．

(2)二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0p1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝____________________，k＝0,1,2，…，n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作________________________________________________________________________．

(3)两点分布与二项分布的均值、方差

①若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝________，D(X)＝________.

②若X～B(n，p)，则E(X)＝____________，D(X)＝________________.

2．超几何分布

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k)＝__________________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布．

3．正态分布

(1)定义

若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为________________________________．

(2)正态曲线的特点

①曲线是单峰的，它关于直线________对称；

②曲线在________处达到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；

③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴．

(3)3σ原则

①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；

②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；

③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.

(4)正态分布的均值与方差

若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝______________，D(X)＝________________.

常用结论

1．“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．

2．超几何分布有时也记为X～H(n，M，N)，其均值

E(X)＝eq\f(nM,N)，方差D(X)＝eq\f(nM,N)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(M,N)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(n－1,N－1))).

自主诊断

1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)

(1)两点分布是二项分布当n＝1时的特殊情形．()

(2)若X表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数，则X服从二项分布．()

(3)从装有3个红球、3个白球的盒中有放回地任取一个球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布．()

(4)当μ取定值时，正态曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“矮胖”．()

2．如果某一批玉米种子中，每粒发芽的概率均为eq\f(2,3)，那么播下5粒这样的种子，恰有2粒不发芽的概率是()

A.eq\f(80,243)B.eq\f(80,81)C.eq\f(163,243)D.eq\f(163,729)

3．某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布N(80,102)，则理论上在80分到90分的人数约是()

A．32B．16C．8D．20

4．(选择性必修第三册P78例4改编)在含有3件次品的10件产品中，任取4件，X表示取到的次品的个数，则P(X＝1)＝________.

题型一二项分布

例1(2023·广东大湾区联考)某工厂车间有6台相同型号的机器，各台机器相互独立工作，工作时发生故障的概率都是eq\f(1,4)，且一台机器的故障能由一个维修工处理．已知此厂共有甲、乙、丙3名维修工，现有两种配备方案，方案一：由甲、乙、丙三人维护，每人负责2台机器；方案二：由甲、乙两人共同维护6台机器．

(1)对于方案一，设X为甲维护的机器同一时刻发生故障的台数，求X的分布列与均值E(X)；

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