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学必求其心得，业必贵于专精
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自我小测
1．（2012重庆高考改编)设函数f(x）在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝（1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是__________．(填序号）
①函数f（x)有极大值f（2)和极小值f(1)
②函数f(x）有极大值f（－2）和极小值f(1)
③函数f(x)有极大值f（2）和极小值f（－2）
④函数f（x）有极大值f(－2）和极小值f（2)
2．（2011广东高考）函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．
3．若函数f(x）＝ax－lnx在处取得极值，则实数a的值为__________．
4．函数f（x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10,则a，b的值分别为______．
5．若函数f（x)＝在x＝1处取得极值，则a＝__________。
6．如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B，C的坐标分别为(0,4),（2,0），（6,4），则f(f（0)）＝______；函数f(x)在x＝1处的导数f′（1）＝______，函数的极值点为______．
7．已知函数f（x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0,则m＝__________，n＝__________。
8．函数f(x）＝x3＋3ax2＋3(a＋2）x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是__________．
9．(2012重庆高考)设f(x)＝alnx＋＋＋1，其中a∈R,曲线y＝f（x)在点(1，f(1)）处的切线垂直于y轴．
(1）求a的值；
（2）求函数f（x）的极值．
10．设x＝1与x＝2是函数f(x）＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．
（1）试确定常数a和b的值；
(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
参考答案
1答案:④解析:由图可得函数y＝(1－x）f′(x）的零点为－2，1，2，则当x＜1时，1－x＞0，此时在(－∞，－2)上f（x）＞0，f′(x）＞0，在(－2,1)上f（x）＜0，f′（x）＜0；当x＞1时，1－x＜0，此时在（1,2）上f(x)＞0，f′(x）＜0，在(2，＋∞)上f(x）＜0，f′（x）＞0。所以f(x)在（－∞，－2)为增函数，在(－2,2）为减函数，在(2，＋∞）为增函数，因此f（x）有极大值f（－2），极小值f（2），故填④.
2答案：2解析:f(x）＝x3－3x2＋1，f′(x）＝3x2－6x.
令f′（x）＞0，解得x＜0或x＞2.
令f′（x）＜0,解得0＜x＜2。
所以函数f（x)在（0，2）上单调递减,在（2,＋∞）上单调递增,故f(x)在x＝2处取得极小值.
3答案:解析：，令,即，解得。
4答案:－4，11解析：∵f′（x）＝3x2－2ax－b，f′(1）＝3－2a－b＝0，f（1)＝1－a－b＋a2＝10，解得a＝3或－4，当a＝3时，b＝－3，当a＝－4时，b＝11.a＝3,b＝－3时,f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0恒成立,此时x＝－1不是f(x)的极值点，应舍去。
5答案：3解析：.∵f(x）在x＝1处取得极值,∴f′（1)＝＝0。∴a＝3。
6答案：2－2x＝2
7答案：29解析：f′(x）＝3x2＋6mx＋n，由题意，f′（－1）＝3－6m＋n＝0，f（－1)＝－1＋3m－n＋m2＝0,解得或
但m＝1，n＝3时，f′（x）＝3x2＋6x＋3＝3（x＋1）2≥0恒成立,此时x＝－1不是f（x）的极值点，应舍去。
经检验m＝2，n＝9符合题意。
8答案：a＞2或a＜－1解析:∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3（a＋2），
令3x2＋6ax＋3（a＋2）＝0,即x2＋2ax＋a＋2＝0。
∵函数f（x)有极大值和极小值，
∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根,
即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.
9答案：解:(1)因f(x)＝alnx＋＋＋1,故.由于曲线y＝f（x)在点（1，f（1)）处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，即f′（1)＝0，从而，解得a＝－1.
（2）由(1)知f(x)＝－lnx＋＋＋1(x＞0)，
。
令f′（x)＝0，解得x1＝1，
(因不在定义域内,舍去).
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x）在（0，1)上为减函数；当x∈(1，＋∞）时，f′（x)＞0，故f（x）在(1，＋∞)上为增函数.故f（x）在x＝1处取得极小值f(1）＝3。
10答案：解:（1）∵f（x)＝alnx＋bx2＋x，
∴f′(x)＝＋2bx＋1.
由题意可知,f′（1）＝f′（2
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