备战2025年高考二轮复习数学课件专题：立体几何-空间角、空间距离.pptVIP

空间角、空间距离

基础回扣?考教衔接以题梳点?核心突破目录索引

基础回扣?考教衔接

1.(人B选必一1.2节习题改编)已知ABCD-A1B1C1D1是正方体,则直线A1D与直线BD1所成角的大小为.?

2.(人A选必一1.4.2节习题)如图,在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OA=OC=3,OB=2,则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为.?

3.(人B选必一1.2节习题改编)如图所示,已知四棱锥S-ABCD中,SA⊥平面ABCD,四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=∠ABC=90°,且SA=AB=BC=3AD,则平面SAB与平面SCD所成角的正弦值为.?

解析依题意,AD,AB,AS两两垂直.以A为原点,AD,AB,AS所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设AD的长为1,则A(0,0,0),S(0,0,3),C(3,3,0),D(1,0,0),

4.(人A选必一1.4.2节习题)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为线段DD1的中点,F为线段BB1的中点.(1)求点A1到直线B1E的距离;(2)求直线FC1到直线AE的距离;(3)求点A1到平面AB1E的距离;(4)求直线FC1到平面AB1E的距离.

(4)因为AE∥FC1,FC1?平面AB1E,AE?平面AB1E,所以FC1∥平面AB1E,所以直线FC1到平面AB1E的距离等于点C1到平面AB1E的距离.

真题体验1.(2012·陕西,理5)如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1,且CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为()A

B

解析(方法一)设棱台的高为h,三条侧棱延长后相交于一点S.正三角形ABC与正三角形A1B1C1的中心分别是点O,O1.连接AO,SO,易知点O1在SO上.由AB=3A1B1,可知三棱锥S-A1B1C1的高为SO1=h,三棱锥S-ABC的高为SO=h,正三棱台ABC-A1B1C1中,△ABC和△A1B1C1均为正三角形,AB=6,A1B1=2,

3.(2003·全国,理18改编)如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90°,侧棱AA1=2,|AC|=|BC|=2,D,E分别是CC1和A1B的中点,则点A1到平面AED的距离为.?

以题梳点?核心突破

考点一异面直线所成的角例1如图,已知点O是圆柱下底面圆的圆心,AA1为圆柱的一条母线,B为圆柱下底面圆周上一点,OA=1,∠AOB=,△AA1B为等腰直角三角形,则异面直线A1O与AB所成角的余弦值为()C

解析(方法一)如图,过点B作BB1∥AA1交圆柱的上底面于点B1,连接A1B1,B1O,则由圆柱的性质易证四边形A1B1BA为矩形,所以A1B1∥AB,所以∠B1A1O或其补角即异面直线A1O与AB所成的角.在△AOB中,OB=OA=1,

[对点训练1]如图所示,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4,则异面直线AQ与PB所成角的正弦值为.?

解析由题设知,四边形ABCD是正方形,连接AC,BD,交于点O,则AC⊥BD.连接OP,OQ,易知OP⊥平面ABCD,OQ⊥平面ABCD,故PQ⊥平面ABCD,则OA,OB,OP两两垂直,以O为原点,CA,DB,QP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,1),A(2,0,0),Q(0,0,-2),

考点二直线与平面所成的角例2(2023·全国甲,理18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1.(1)证明:A1C=AC;(2)已知AA1与BB1距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值.

(1)证明∵A1C⊥底面ABC,BC?平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又A1C,AC?平面ACC1A1,∴BC⊥平面ACC1A1.∵BC?平面BCC1B1,∴平面ACC1A1⊥平面BCC1B1.如图,过点A1作A1O⊥CC1交CC1于点O,

?

(2)解(方法一)连接BA1.∵BC⊥A1C,BC⊥AC,∴在Rt△A1CB中有A1C2+BC2=在Rt△ACB中有AC2+BC2=AB2,又AC=A1C,∴AB=BA1.过点B作BD⊥AA1交AA1于点D,则D为AA1的中点,且BB1⊥BD,则BD即为直线AA1与BB1的距离,∴BD=2.

(方法二空间向量法)∵A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,∴A1C,A