2025年新高考数学一轮复习第4章拔高点突破01三角函数与解三角形背景下的新定义问题(十大题型)(学生版+解析).docxVIP

拔高点突破01三角函数与解三角形背景下的新定义问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 3

题型一：托勒密问题 3

题型二：与三角有关的新定义函数 5

题型三：n倍角模型与倍角三角形 7

题型四：双曲正余弦函数 9

题型五：射影几何问题 10

题型六：正余弦方差 12

题型七：曼哈顿距离和余弦距离 13

题型八：费马问题 14

题型九：布洛卡点问题 15

题型十：勒洛三角形、莱洛三角形、拿破仑三角形 17

03过关测试 20

在三角函数与解三角形背景下的新定义问题中，解题方法通常涉及对三角函数性质、解三角形方法的深入理解以及灵活应用。以下是一些常用的解题方法：

1、理解新定义：

首先，需要仔细阅读题目中的新定义，理解其含义和所涉及的数学概念。

将新定义与已知的三角函数或解三角形的方法联系起来，找出其中的关联点。

2、利用三角函数性质：

应用三角函数的定义、诱导公式、同角关系式、和差化积公式等，将问题转化为已知的三角函数问题。

利用三角函数的图像和性质，如周期性、奇偶性、单调性等，来分析和解决问题。

3、应用解三角形的方法：

使用正弦定理、余弦定理等解三角形的基本方法，将三角形的边和角联系起来。

通过作辅助线、构造特殊三角形等方式，将复杂问题转化为简单问题。

4、结合图形分析：

在解题过程中，结合图形进行分析，可以更直观地理解问题。

利用图形的对称性、相似性等性质，简化计算过程。

5、注意特殊值和极端情况：

在解题时，要注意考虑特殊值和极端情况，如角度为0°、90°、180°等。

这些特殊值往往能提供更简单的解题路径或用于验证答案的正确性。

6、综合应用多种方法：

在解题过程中，可能需要综合运用多种方法，如代数法、几何法、三角法等。

灵活转换不同的解题方法，以适应不同的问题情境。

可以使用不同的方法或代入特殊值进行验证，以确保答案的正确性。

解决三角函数与解三角形背景下的新定义问题，需要深入理解相关概念和方法，并灵活应用多种解题策略。通过不断的练习和反思，可以提高解决这类问题的能力。

题型一：托勒密问题

【典例1-1】古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，

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(1)若，，，（图1），求线段长度的最大值；

(2)若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值；

(3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值.

【典例1-2】（1）四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系：

如图，，，，四点共圆，为外接圆直径，，，，求与的长度；

（2）古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论：

①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．

②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大．

根据上述材料，解决以下问题：

（i）见图1，若，，，，求线段长度的最大值；

（ii）见图2，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出此时四边形的面积．

【变式1-1】克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.他一生有很多发明和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸四边形中，两组对边乘积的和大于等于两对角线的乘积，即，当四点共圆时等号成立.已知凸四边形中，.

(1)当为等边三角形时，求线段长度的最大值及取得最大值时的边长；

(2)当时，求线段长度的最大值.

【变式1-2】已知半圆O的半径为1，A为直径延长线上的点，且，B为半圆上任意一点，以为一边作等边，设.

(1)当时，求四边形的周长；

(2)托勒密所著《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积不大于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.据以上材料，当线段的长取最大值时，求；

(3)当为何值时，四边形的面积最大，并求此时面积的最大值.

题型二：与三角有关的新定义函数

【典例2-1】对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.

(1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由；

(2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使