2025年新高考数学一轮复习第4章重难点突破03解三角形中的范围与最值问题(十七大题型)(学生版+解析).docxVIP

重难点突破03解三角形中的范围与最值问题

目录TOC\o1-2\h\z\u

01方法技巧与总结 2

02题型归纳与总结 3

题型一：周长问题 3

题型二：面积问题 4

题型三：长度和差比问题 5

题型四：转化为角范围问题 7

题型五：倍角问题 7

题型六：角平分线问题与斯库顿定理 8

题型七：中线问题 9

题型八：四心问题 10

题型九：坐标法 12

题型十：隐圆（阿波罗尼斯圆）问题 13

题型十一：两边逼近思想 13

题型十二：转化为正切有关的最值问题 14

题型十三：最大角（米勒问题）问题 15

题型十四：费马点、布洛卡点、拿破仑三角形问题 16

题型十五：托勒密定理及旋转相似 18

题型十六：三角形中的平方问题 20

题型十七：等面积法、张角定理 21

03过关测试 21

1、在解三角形专题中，求其“范围与最值”的问题，一直都是这部分内容的重点、难点．解决这类问题，通常有下列五种解题技巧：

（1）利用基本不等式求范围或最值；

（2）利用三角函数求范围或最值；

（3）利用三角形中的不等关系求范围或最值；

（4）根据三角形解的个数求范围或最值；

（5）利用二次函数求范围或最值．

要建立所求量（式子）与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量（式子）的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．这里要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围（也就是函数的定义域）找完善，避免结果的范围过大．

2、解三角形中的范围与最值问题常见题型：

（1）求角的最值；

（2）求边和周长的最值及范围；

（3）求面积的最值和范围．

题型一：周长问题

【典例1-1】（2024·全国·二模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则△ABC周长的最大值为（????）

A． B． C． D．

【典例1-2】（2024·广西河池·模拟预测）已知中角，，的对边分别为，，，且.

(1)求角；

(2)若，求的周长的最大值，并求出此时角，角的大小.

【变式1-1】（2024·江西南昌·三模）在锐角中，，，

(1)求角A；

(2)求的周长l的范围.

【变式1-2】（2024·广东广州·一模）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足，．

(1)求角A的大小；

(2)求周长的范围．

【变式1-3】（2024·贵州贵阳·模拟预测）记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

(1)求C；

(2)若为锐角三角形，，求周长范围．

题型二：面积问题

【典例2-1】（2024·四川德阳·模拟预测）在中，角、、所对的边分别为、、，且，.

(1)求；

(2)若为锐角三角形，求的面积范围.

【典例2-2】（2024·全国·模拟预测）已知在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，．

(1)求角A的值；

(2)若，求面积的范围．

【变式2-1】（2024·四川攀枝花·三模）已知的内角的对边分别为其面积为,且.

（Ⅰ）求角；

（II）若,当有且只有一解时,求实数的范围及的最大值.

【变式2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，，当四边形ABCD的面积最大时，的最小值为.

【变式2-3】（2024·陕西西安·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则面积的最大值为.

题型三：长度和差比问题

【典例3-1】（2024·广东深圳·模拟预测）已知中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．

(1)求角A的大小；

(2)若D是边BC上一点，且AD是角A的角平分线，求的最小值．

【典例3-2】（2024·山西运城·模拟预测）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.

（1）求证：；

（2）若是锐角三角形，，求的范围.

【变式3-1】（2024·山东潍坊·一模）在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.

问题：在中，角所对的边分别为，且__________.

(1)求角的大小；

(2)已知，且角有两解，求的范围.

【变式3-2】在中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，，

(1)求角B﹔

(2)求的范围．

【变式3-3】（2024·重庆·模拟预测）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．

(1)求角A的大小；

(2)若，且，求AP的最小值．

【变式3-4】（2024·安徽亳州·高三统考期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知.

（1）求角的大小；

（2）设为的垂心，且，求的范围.

题型四：转化为角范围问题

【典例4-1】在锐角中，内角，，的对