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有关三角形角平分线的有趣问题的讨论

前言：

角平分线这个词我们并不陌生,初中时,我们便知道等腰三角形两底角的平分线相等、全等三角形对应角平分线相等的一些有关三角形角平分线的定理,今天就让我们更加深入的探究角平分线的特性吧！

正文：

斯坦纳—雷米欧司定理

尽然我们知道“等腰三角形两底角的平分线相等”是一个真命题,那么我们便可以猜想：它的逆命题是否也是真命题呢？也就是“有两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形”是否成立？在两千多年前,欧几里得在他的经典巨著《几何原本》中便给出了上述第一个命题的证明,但是他却没有能够证明第二个命题也就是第一个命题的逆命题.直到十八世纪,雷米欧司重新提出这个题目,著名的德国几何学家斯坦纳才给出了这个逆命题的证明.所以,现在大家都把它叫“做斯坦纳—雷米欧司定理”

既然连欧几里得也无法证明的命题,我们中学生该如何下手呢？自然地,我们便想到要不从最简单的方式入手吧？

反证法：

我们先将命题化为几何语言：

如图,已知BP、CQ分别是△ABC的内角∠ABC、∠ACB的平分线,且BP=CQ

求证：△ABC是等腰三角形

证明：如上图,设∠ABP=∠PBC=?∠ABC=β,∠ACQ=∠QCB=?∠ACB=α

设BP与CQ交点为O（这样要证明△ABC为等腰三角形便要转换为证明α=β）

若α＞β,于是在线段OP上可以取一点R使∠RCD=β且BR＜BP

在△BQC与△CRB中

∵∠BQC=180°－(2β+α),∠CRB=180°－(2β+α)

∴∠BQC=∠CRB

又∵α＞β∴∠QBC＜∠RCB

根据正弦定理BR=Sin∠RCB＞Sin∠QBC=CQ

BCSin∠CRBSin∠BQCBC

∴BR＞CQ=BP这与BR＜BP矛盾故α＞β不成立

同理可证α＜β也不成立∴α只能与β相等

∴∠ABC=∠ACB

∴△ABC为等腰三角形

同学们是否感觉到用反证法证明很容易呢？其实,斯坦纳一开始也是用反证法证明的,但他的方法比我们的方法更烦琐些,命题已经证完了,大家终于可以松一口气了,但是我们知道,反正法毕竟不能取代纯几何证法,纯几何证法才是能够使几何命题完善的.在斯坦纳证明该命题后,就陆续有数学爱好者提出了其他证明方法,海塞便是其中之一？

纯几何证法——海塞证法（在这里,已知、求证便不再写出）

证明：在△BDC的外侧作∠BDF=∠ECB且使得DF=BC连接BF

在△BDF与△ECB

{BD=EC∠BDF=∠ECBDF=CB}

∴△BDF≌△ECB∴BF=EB,∠FBD=∠BEC

设∠ABD=α=∠DBC,∠ACE=β=∠BCE

则∠FBC=∠FBD+∠DBC=∠BEC+∠DBC=180°－(2α＋β)＋α=180°－(α＋β)

∠FDC=∠FDB＋∠BDC=β+180°－(2β＋α)=180°－(α＋β)

∴∠FBC=∠FDC

∵2α＋2β＜180∴α＋β＜90°∴180°－(α＋β)＞90°

即∠FBC=∠FDC＞90°

过点C作BF的垂线交FB延长线G,过点F作DC的垂线交CD延长线于点H

∴∠CBG=180°－∠FBC=180°－∠CDF=∠FDH

又∵∠CGB=∠FHD=90°,BC=DF

∴△CGB≌△FHD∴FH=CG,HD=GB

连接CF∵CF=FC,FH=CG

∴Rt△FCH≌Rt△CFG(HL)

∴CH=FG

∴CH－HD=FG－GB即CD=FB

又∵BF=EB∴CD=BE

又∵EC=BD,BC=BC

∴△EBC≌△DCB

∴∠EBC=∠DCB即∠ABC=∠ACB∴△ABC是等腰三角形

二．角平分线定理

说起角平分线,大家一定能想到：角平分线所联系的一些线段是否存在某种关系？比如：比例关系？下面我向大家介绍内角平分线定理与外角平分线定理

【1】内角平分线定理

已知:AD为△ABC的一条内角平分线

求证：BD/CD=AB/AC

利用正弦定理证明

AB=Sin∠ADB=Sin∠ADC=AC

BDSin∠BADSin∠CADDC

∴AB=BD

ACDC

利用辅助线

如图,过点C作CE∥DA交BA延长线于点E则∠AEC=∠BAD,∠ACE=∠DAC

∵∠BAD=∠DAC∴∠AEC=∠ACE

∴AE=AC

∵AD∥EC∴AB=BD∴AB=BD

AEDCACDC

PS:这个定理其实有很多种证法,这里只是列举了最简单的两种

【2】外角平分线定理

已知