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S.-T.YauCollegeStudentMathematicsContests2022
AlgebraandNumberTheory
(Overallindividualround)
22
Problem1.Provethat[x,y]/(x+y−1)isauniquefactorizationdomain(UFD),
but[x,y]/(x2+y2−1)isnotaUFD.
Problem2.Considertheequationf(x)=x3−x−1∈[x].Letp=23beaprime
number.
(a)Provethatf(x)=0(modp)hasexactlyonerootinpifandonlyifp=−1.
23
(b)LetK/betheGaloisclosurecorrespondingtof.Forpasin(a),determine
thevaluesofe,f,gintheprimedecompositionofpOK.
.
1
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