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合肥一中高三上学期数学素质拓展4
命题、审题人:刘斌陈银科
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共计40分.每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1.设集合,集合,则()
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化简集合,根据集合的交集、并集、补集求解.
【详解】因为,
所以,,
,
因为,所以,
故选:B
2.函数与在同一直角坐标系下的图象大致是()
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】根据函数过排除A;
根据过排除B、D
故选C.
3.已知△ABC满足2=·+·+·,则△ABC是()
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
【答案】C
【解析】
【分析】由数量积的运算律化简后得出正确选项
【详解】由题意得,故
∴,△ABC是直角三角形
故选:C
4.已知直线与曲线切于点,则b的值为()
A.3 B. C.5 D.
【答案】A
【解析】
【分析】因为是直线与曲线的交点,所以把代入直线方程即可求出斜率k的值,然后利用求导法则求出曲线方程的导函数,把切点的横坐标代入导函数中得到切线的斜率,让斜率等于k列出关于a的方程,求出方程的解得到a的值,然后把切点坐标和a的值代入曲线方程,即可求出b的值.
【详解】把代入直线中,得到,
求导得:,所以,解得,
把及代入曲线方程得:,
则b的值为3.
故选:A.
【点睛】此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率,是一道基础题.
5.下列叙述中正确的个数是:()
①若,,为平面向量,则;
②向量与垂直;
③,,若与的夹角是钝角,则实数m的取值范围是
④.记,则向量在向量上的投影向量为
A0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【解析】
【分析】对①,举反例说明;对②,由两向量垂直的向量关系运算验证;对③,由向量夹角是钝角,则向量数量积小于0,并挖去共线情况;对④,由投影向量的定义运算判断.
【详解】对于①,如,,,所以,,
所以,而,所以,故①错误;
对于②,因为,故②正确;
对于③,由题意,,且与不共线,即,解得且,故③错误;
对于④,由,即,
所以向量在向量上的投影向量为,故④正确.
综上,正确的为②④.
故选:C.
6.若一元二次不等式,的解集分别为、,、、、、、均不为0,、既不是也不是,则“”是“”的()条件
A.充分不必要 B.必要不充分
C.充要 D.既不充分也不必要
【答案】A
【解析】
【分析】通过两个一元二次不等式解集的关系,结合充分、必要条件判断即可.
【详解】若一元二次不等式,的解集分别为、,
、、、、、均不为0,、既不是也不是,若,则,
反之,若,则,例如,
不等式的解集与不等式即的解集不一样,
因此“”是“”的充分不必要条件.
故选:A.
7.已知,函数在上单调递减,则的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】由题意可得,,
,
,.故A正确.
考点:三角函数单调性.
8.定义域在R上的奇函数.若存在,使得成立,则实数k的取值范围为().
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由得,由指数函数的性质可得在上为减函数,利用函数奇偶性转化不等式,结合函数单调性可解决问题.
【详解】∵是定义域在R上的奇函数,
∴,解得,检验得时,是奇函数,
∴,
由指数函数的性质可得在R上为减函数.
由得,
∴,即存在,使得,
记,,则,
,
∵,∴,
∴,∴,
∴,即实数k的取值范围为.
故选:D.
二、选择题:本大题共3小题,每小题6分,共计18分.每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,部分选对得部分分.
9.已知,则下列不等式一定成立的有()
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】选项A,由不等式的性质可得;选项B,利用基本不等式可证明;选项CD,举反例可知.
【详解】由,得,
则,故A正确;
选项B,因为,
由基本不等式可得,
由,等号取不到,则,故B正确;
选项C,当时,则,
此时,故C错误;
选项D,当时,,
此时,故D错误.
故选:AB.
10.已知函数的部分图象如图所示,则()
A.
B.函数f(x)的图象关于对称
C.函数f(x)的图象关于对称
D.函数f(x)在上单调递增
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图像求出,然后利用三角函数的性质逐一判断即可.
【详解】由图可知:,
且,故,
,
故,
,
,故A正确;
当时,,故B错误;
当时,,故C正确;
当时,,故D正确.
故选:ACD
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