北师大版数学八下期末重难点培优训练专题03 解题技巧专题 利用等腰三角形的三线合一作辅助线(原卷版).doc

专题03解题技巧专题：利用等腰三角形的三线合一作辅助线

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目录

TOC\o1-3\h\u【典型例题】 1

【题型一底边有中点时，连中线】 1

【题型二底边无中点时，作高】 7

【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 14

【典型例题】

【题型一底边有中点时，连中线】

例题：（2022春·浙江宁波·八年级校联考期中）如图，在中，，．D为边的中点，E，F分别在上，于点D．

(1)求证：是等腰三角形．

(2)求的最小值．

【变式训练】

1．（2022春·北京海淀·八年级北京二十中校考阶段练习）如图：在中，，D为边的中点，过点D作于点E，于点F．

(1)求证：；

(2)若，求的周长．

2．（2022春·北京大兴·八年级统考期末）已知，在中，，，点是的中点，作，使得射线与射线分别交射线，于点，．

(1)如图1，当点在线段上时，线段与线段的数量关系是___________；

(2)如图2，当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，和之间的数量关系并加以证明．

3．（2022春·湖北孝感·八年级统考期末）在中，，，点O为的中点．

(1)若，两边分别交于E，F两点．

①如图1，当点E，F分别在边和上时，求证：；

②如图2，当点E，F分别在和的延长线上时，连接，若，则．

(2)如图3，若，两边分别交边于E，交的延长线于F，连接，若，试求的长．

【题型二底边无中点时，作高】

例题：（2022春·江苏·八年级期末）如图，点D、E在的边上，，，求证：．

【变式训练】

1．（2022春·北京门头沟·八年级统考期末）已知：如图，在中，，．求边上的高的长．

2．（2022春·辽宁大连·八年级统考期末）如图，与均为等腰三角形，，且，为延长线上一点，．

(1)若，求的度数；

(2)求证：；

(3)若，，，求的面积（用含，，的式子表示）．

3．（2022春·北京海淀·八年级统考期末）已知在中，，且=．作，使得．

(1)如图1，若与互余，则=__________(用含的代数式表示)；

(2)如图2，若与互补，过点作于点，求证：；

(3)若由与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论数．

【题型三巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】

例题：（2022春·上海普陀·八年级校考期中）如图，在中，平分，是的中点，过点作交的延长线于，交于，交的延长线于．

求证：

(1)；

(2)．

【变式训练】

1．（2022春·河北石家庄·八年级校考期中）

(1)【问题情境】

利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点A为上一点，过点A作，垂足为C，延长交于点B，可根据证明，则，（即点C为的中点）．

(2)【类比解答】

如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得．

(3)【拓展延伸】

如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论．

(4)【实际应用】

如图4是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①用量角器取的角平分线；②过点A作于D．已知，，面积为20，则划出的的面积是多少？请直接写出答案．