专题22.5 相似三角形的应用【七大题型】（举一反三）（沪科版）（原卷版）.pdfVIP

专题22.5相似三角形的应用【七大题型】

【沪科版】

【题型1相似三角形的应用（九章算术）】1

【题型2相似三角形的应用（影长问题）】3

【题型3相似三角形的应用（杠杆问题）】5

【题型4相似三角形的应用（建筑物问题）】6

【题型5相似三角形的应用（树高问题）】8

【题型6相似三角形的应用（河宽问题）】9

【题型7相似三角形的应用（内接矩形问题）】11

【知识点相似三角形的应用】

在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似

三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的。同时，需要掌握并应用一些简单的相似三角形模

型。

【题型1相似三角形的应用（九章算术）】

【例1】（2021·北京大兴·九年级期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样

一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”用今天的话说，大

意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中

点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即

点D在直线AC上）．

【变式1-1】（2022·湖南株洲·九年级期末）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方

法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井

=1=1.6=0.4

口的直径AC交于点E，如果测得米，米，米，那么CD为（）米．

A．5B．4C．3D．2

【变式1-2】（2022·河北·二模）《九章算术》的“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开

门．出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木．问邑方几何？”大意是：如图，

四边形EFGH是一座正方形小城，北门A位于FG的中点，南门B位于EH的中点．从北门出去正北方向

20步远的C处有一树木，从南门出去向南行走14步，再向西行走1775步，恰好能看见C处的树木，则正

方形小城的边长为（）

A．105步B．200步C．250步D．305步

【变式1-3】（2021·河南·鹤壁市淇滨中学九年级阶段练习）《海岛算经》是中国最早的一部测量数学著作，

由刘徽于三国魏景元四年（公元263年）所撰，本为《九章算术注》之第十卷，题为《重差》，所有问题

都是利用两次或多次测望所得的数据来推算可望而不可及的目标的高、深、广、远，因首题测算海岛的高、

远得名《海岛算经》，亦为地图学提供了数学基础．

《海岛算经》中的第4道“望谷”的题目为：今有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺．从勺端望谷底，入下股九

尺一寸．又设重矩于上，其矩间相去三丈，更从勺端望谷底，入上股八尺五寸．问谷深几何？

大致意思是：望一个如图所示的深谷，深谷的底部为线段MN，在山谷边缘处放置一个直角三角尺ABC，

∠ACB＝90°，AC＝6尺，A，C，N在一条直线上，CN⊥MN，从点A处望山谷底部M处时，视线经过BC上

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的点E处，测得EC长为9尺1寸；将三角尺沿着射线CA方向向上平移3丈得到，从处望山谷

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