备战2025年高考二轮复习数学课件：函数与导数-抽象函数问题.pptVIP

假设存在x0,使f(x)=0.把y用-2x代换,则有f(-x)[f(x)+f(-2x)]=f(x)f(-2x),即f(-x)f(-2x)=0,又当x0时,f(x)0,所以产生矛盾,即x0时,f(x)≠0,则f(x)≠0在函数f(x)的定义域内恒成立.令-x代换x,y,则f(-x-x)[f(-x)+f(-x)]=f(-x)f(-x),即2f(-2x)·f(-x)=f(-x)f(-x),所以2f(-2x)=f(-x),令-x代换x,所以2f(2x)=f(x),故B错误;令y=-2x,则f(x-2x)[f(x)+f(-2x)]=f(x)f(-2x),即f(-x)·[f(x)+f(-2x)]=f(x)f(-2x).化简可得f(-x)=-f(x),又函数f(x)的定义域关于原点对称,所以f(x)为奇函数,故C正确;令x=y=1,则f(2)[f(1)+f(1)]=f(1)f(1),解得f(2)=1,f(1)=2f(2)=1,故D错误.故选C.角度二特殊函数模型的应用ABD(2)(2024吉林模拟)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),f(0)=1,f(3x+1)=-f(-3x+1),则f(k)=()A.-2 B.-1 C.0 D.1D解析(方法一)令x=0,由f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),f(0)=1,可得f(-y)=f(y),所以f(x)是偶函数.因为f(3x+1)=-f(-3x+1),所以函数f(x)的图象关于点(1,0)对称,(方法二)由题意知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y),f(0)=1,令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(y),即f(-y)=f(y),故f(x)为偶函数;又f(3x+1)=-f(-3x+1),令x=0,则f(1)=-f(1),所以f(1)=0,又由f(3x+1)=-f(-3x+1),得f(x+1)+f(-x+1)=0,即f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称,则f(2)=-f(0)=-1.f(x+1)+f(-x+1)=0,即f(x+2)=-f(-x),又结合f(x)为偶函数,则f(x+2)=-f(x),故f(x+4)=-f(x+2)=f(x),即4为f(x)的周期,故f(3)=f(-1)=f(1)=0,f(4)=f(0)=1,故f(k)=f(0)+[f(1)+f(2)+…+f(2024)]=1+506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]=1+506×(0-1+0+1)=1,故选D.角度三抽象函数性质的综合应用例3(1)(多选题)(2024山东聊城一模)设f(x)是定义在R上的可导函数,其导数为g(x),若f(3x+1)是奇函数,且对于任意的x∈R,f(4-x)=f(x),则对于任意的k∈Z,下列说法正确的是()A.4k都是g(x)的周期B.曲线y=g(x)关于点(2k,0)对称C.曲线y=g(x)关于直线x=2k+1对称D.g(x+4k)是偶函数BC解析由f(3x+1)是奇函数,故有f(3x+1)=-f(-3x+1),即有f(x+1)=-f(-x+1),故f(x+1)=f(-x+1),即g(x+1)=g(-x+1),故函数g(x)的图象关于直线x=1对称,由f(4-x)=f(x),则-f(4-x)=f(x),即-g(4-x)=g(x).故函数g(x)的图象关于(2,0)中心对称.由-g(4-x)=g(x),则-g(3-x)=g(x+1),又g(x+1)=g(-x+1),故g(-x+1)=-g(3-x),即有g(x+1)=-g(3+x),则g(x+3)=-g(x+5),故g(x+3)=-g(x+5)=-g(x+1),即g(x+1)=g(x+5),故g(x)=g(x+4),故g(x)的周期为4.对于A,当k=0时,4k=0,故A错误;对于B,由g(x)周期为4,故g(4k-x)=g(-x),又-g(4-x)=g(x),故-g(-x)=g(x),故g(-x)=-g(x)=g(4k-x),故曲线y=g(x)关于点(2k,0)对称,故B正确;对于C,由g(x)的周期为4,故g(4k+2-x)=g(2-x),又g(x+1)=g(-x+1),故g(x)=g(-x+2)=g(4k+2-x),故曲线y=g(x)关于直线x=2k+1对称,故C正确;对于D,由选项B得-g(x)=g(4k-x),故-g(-x)=g(4k+x),又g(x)的周期为4,故有-g(-x)=-g(4k-x),故g(4k+x)=-g(4k-x),又x∈R,即g(x+4k)都是奇函数,故D