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1.标量场的梯度
一.等值面（线）
标量函数为，则等值面方程为：
梯度的重要性质
标量场的梯度恒等于零。
2矢量场的通量散度
一、矢量线（力线）
矢量线的疏密表征矢量场的大小
矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向
若S为闭合曲面
二、矢量场的散度
散度的物理意义
矢量场的散度表征了矢量场的通量源的分布特性
矢量场的散度是一个标量
矢量场的散度是空间坐标的函数
矢量场的散度值表征空间中通量源的密度
高斯定理（散度定理）的证明
从散度定义有：
则在一定体积V内的总的通量为：
得证！
3矢量场的环流旋度
一、矢量的环量
环流的计算
在场矢量空间中，取一有向闭合路径l，则称沿l积分的结果称为矢量沿l的环量。即：
环流意义：若矢量场环流不为零，则回路所围面积中存在产生矢量场的漩涡源。
在直角坐标系中：
旋度的物理意义
旋度的计算
矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；
矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；
在直角坐标系下：
三、斯托克斯定理
由旋度的定义
对于有限大面积s，可将其按如图方式进行分割，对每一小面积元有
斯托克斯定理的证明：
＝
得证！
意义：矢量场的旋度在曲面上的积分等于该矢量场在限定该曲面的闭合曲线上的线积分。
矢量场旋度的重要性质
任意矢量场旋度的散度等于零。
精品课件！
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7、拉普拉斯方程
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