北师大版数学九上期末重难点培优训练专题11 相似三角形的判定方法(解析版).doc

专题11相似三角形的判定方法

考点一两角对应相等，两个三角形相似考点二两边成比例且夹角相等，两个三角形相似

考点三三边对应成比例，两个三角形相似考点四补充条件使两个三角形相似

考点一两角对应相等，两个三角形相似

1．（2022·福建省福州屏东中学三模）如图，在中，，若≌，且点在上，点在上，与交于点．

求证：∽．

【答案】见解析

【分析】首先得出∠B＝∠C，∠AEF＝∠B，然后证明∠CEM＝∠BAE即可得出△ABE∽△ECM．

【详解】证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵△ABC≌△DEF，

∴∠AEF＝∠B

又∵∠AEF＋∠CEM＝∠AEC＝∠B＋∠BAE，

∴∠CEM＝∠BAE，

∴△ABE∽△ECM．

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，相似三角形的判定等知识，熟练掌握两角对应相等，两个三角形相似是解题关键．

2．（2021·云南·姚安县光禄中学九年级阶段练习）如图，梯形中，，点在上，连结并延长与的延长线交于点．求证：；

【答案】见解析

【分析】根据ABCD，利用平行线的性质求出∠CDF＝∠G，∠DCF＝∠GBF，可证明△CDF∽△BGF．

【详解】证明：∵在梯形ABCD中，ABCD，

∴∠CDF＝∠G，∠DCF＝∠GBF，

∴△CDF∽△BGF．

【点睛】本题考查了梯形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等，两个三角形相似是解题的关键．

3．（2021·湖南·永州市冷水滩区京华中学九年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，点E在边BC上，满足∠DEF=∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．求证：△BDE△CEF．

【答案】见解析

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，根据∠CED＝∠B＋∠BDE＝∠CEF＋∠DEF，得到∠BDE＝∠CEF，于是得到结论．

【详解】证明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠CED＝∠B＋∠BDE＝∠CEF＋∠DEF，∠DEF=∠B，，

∴∠BDE＝∠CEF，

∴△BDE∽△CEF；

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．

4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD；求证：△ABE∽△ACD．

【答案】见解析

【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，根据BE＝BD，由等边对等角可得∠BED＝∠BDE，根据邻补角可得∠AEB＝∠ADC，即可证明△ABE∽△ACD．

【详解】证明：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵BE＝BD，

∴∠BED＝∠BDE，

∴∠AEB＝∠ADC，

∴△ABE∽△ACD．

【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．

5．（2022·山东菏泽·中考真题）如图，在中，，E是边AC上一点，且，过点A作BE的垂线，交BE的延长线于点D，求证：．

【答案】见解析

【分析】先根据等腰三角形的性质得∠C=∠BEC，又由对顶角相等可证得∠AED=∠C，再由∠D=∠ABC=90°，即可得出结论．

【详解】证明：∵

∴∠C=∠BEC，

∵∠BEC=∠AED，

∴∠AED=∠C，

∵AD⊥BD，

∴∠D=90°，

∵，

∴∠D=∠ABC，

∴．

【点睛】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理是解题的关键．

6．（2022·全国·九年级课时练习）如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，点E为AC的中点，AD⊥BC于点D，ED延长后交AB的延长线于点F，求证：△AEF∽△ABC．

【答案】证明见解析．

【分析】先根据直角三角形斜边上的中线性质得到ED＝EC，则∠EDC＝∠C，再利用三角形外角性质可得∠AEF＝2∠C，而∠ABC＝2∠C，所以∠ABC＝∠AEF，加上∠EAF＝∠BAC，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△AEF∽△ABC．

【详解】证明：∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴△ADC是直角三角形，

∵点E为AC的中点，

∴ED＝EC，

∴△ECD是等腰三角形，

∴∠EDC＝∠C，

∴∠AEF＝∠EDC＋∠C＝2∠C，

∵∠ABC＝2∠C，

∴∠ABC＝∠AEF，

∵∠EAF＝∠BAC，

∴△AEF∽△ABC．

【点睛】此题考查了相似三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的判定和性质、三角形的外角的性质等，熟练掌握直角三角形斜边上中线的性质是解题的关键．

7．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．

(1)求证：△ABC∽△BDC．

(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长