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指数与对数函数的极限与连续性

目录指数函数对数函数复合函数反函数总结与比较CONTENTS

01指数函数CHAPTER

定义定义域举例指数函数的定义指数函数是一种数学函数，其形式为(a^x)（其中(a0)且(aneq1))，其中(a)是底数，(x)是自变量。指数函数的定义域是全体实数集(mathbf{R})。常见的指数函数有(2^x)、(frac{1}{2}^x)等。

当(xto-infty)时，若(a1)，则(a^xto0)；若(0a1)，则(a^xtoinfty)。当(xto+infty)时，若(a1)，则(a^xtoinfty)；若(0a1)，则(a^xto0)。当(xtox_0)时，指数函数的极限取决于函数在点(x_0)的取值。指数函数的极限

在实数轴上，指数函数图像呈现出单调性，即随着自变量(x)的增大或减小，函数值(a^x)也相应增大或减小。指数函数在某些点上可能存在间断点，例如当底数(a=1)时，函数退化为常数函数，此时在定义域内不连续。指数函数在定义域内是连续的。指数函数的连续性

02对数函数CHAPTER

123以e为底的对数函数，记作ln(x)，其定义域为(0,+∞)。自然对数函数以10为底的对数函数，记作lg(x)，其定义域为(0,+∞)。常用对数函数如以2为底的对数函数，记作log?(x)，其定义域为(0,+∞)。底数大于1的对数函数对数函数的定义数函数的极限当x趋近于正无穷时，ln(x)趋近于正无穷。当x趋近于0时，ln(x)趋近于负无穷。当x趋近于1时，ln(x)趋近于0。当x趋近于负无穷时，对数函数无极限。

对数函数在其定义域内是连续的。在定义域的端点处，对数函数可能不连续。例如，当底数小于1时，在x=1处不连续。在其他情况下，对数函数在其定义域内是连续的。010203对数函数的连续性

03复合函数CHAPTER

定义设函数$f(x)$在某区间上有定义，若对于该区间内的任意$x$，另一个函数$g(x)$的值域内存在$y$，使得$f(g(x))=z$成立，则称$z$是$f$与$g$的复合函数，记作$fcircg(x)$。举例$f(x)=x^2$和$g(x)=x+1$，则复合函数为$fcircg(x)=(x+1)^2$。复合函数的定义

复合函数的极限定义设函数$f(x)$在点$a$的某去心邻域内有定义，若对于任意给定的正数$epsilon$，存在正数$delta$，使得当$0|x-a|delta$时，有$|f(g(x))-L|epsilon$成立，则称当$xtoa$时，$fcircg(x)toL$。举例考虑函数$f(x)=x^2$和$g(x)=x+1$，当$xto0$时，$(x+1)^2to1$。

复合函数的连续性若对于任意给定的正数$epsilon$，存在正数$delta$，使得当$0|x-a|delta$时，有$|fcircg(x)-fcircg(a)|epsilon$成立，则称复合函数$fcircg(x)$在点$a$处连续。定义考虑函数$f(x)=x^2$和$g(x)=x+1$，在点$a=-1$处，$(x+1)^2=(-1+1)^2=0^2=0$，因此复合函数在点$-1$处连续。举例

04反函数CHAPTER

反函数的定义如果函数$y=f(x)$在某区间内的每一个值$y$，都有唯一的值$x$与之对应，那么这个函数在这个区间内是单调的，并且可以定义反函数$x=f^{-1}(y)$。单调性条件为了定义反函数，函数$y=f(x)$必须在某个区间内单调。反函数的表示通常表示为$f^{-1}(y)$或$x=f^{-1}(y)$。反函数的定义

反函数极限的定义如果对于任意的$varepsilon0$，存在$delta0$，使得当$0|y-y_0|delta$时，有$|f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)|varepsilon$，则称反函数在$y_0$处有极限。单调性条件反函数的极限存在性也依赖于原函数在对应点处的单调性。反函数极限的性质如果原函数在某点处连续，则其反函数在该点处也连续。反函数的极限

反函数的连续性定义如果对于任意的$varepsilon0$，存在$delta0$，使得当$|x-x_0|delta$时，有$|f^{-1}(x)-f^{-1}(x_0)|varepsilon$，则称反函数在$x_0$处连续。单调性条件反